2025年安徽省中考数学二轮复习专题突破课件---与圆有关的证明和计算

该初中数学课件聚焦中考“与圆有关的证明和计算”核心考点，覆盖圆的基本性质、与三角函数综合、与全等相似形综合等考查要求。通过分类型梳理典例，对接中考说明，分析各考点权重，归纳证明角相等、计算线段长等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于融合中考真题训练与应试技巧指导，以推理意识、几何直观培养为核心，如典例1利用圆的基本性质证明线段中点，典例3结合三角函数求CF长，示范解题步骤。助力学生掌握证明思路与计算技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，高效指导中考冲刺。

与圆有关的证明和计算 类型一　利用圆的基本性质 典例1 如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.求证： (1)∠CAD=∠ABD； (2)点P是线段AF的中点. 证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.∵∠DBC=∠CAD，∴∠CAD=∠ABD. (2)∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠EDB=90°.∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB+∠ABD=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DBC.∵∠CAD=∠DBC=∠ABD，∴∠ADE=∠CAD，∴PA=PD.∵∠ADF=90°，∴∠CAD+∠DFP=90°，∴∠DFP=∠EDB，∴PD=PF，∴PA=PF，∴点P是线段AF的中点. 典例2 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，DB平分∠ADC，∠CAD=∠ABD. (1)求证：BD平分∠ABC；并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，圆的半径长为8，求BF的长. (1)证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=CB.∵∠CAD=∠ABD，∠ACD=∠ABD，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∴BD是AC的垂直平分线.∵BE⊥AC，AB=CB，∴BD平分∠ABC.∵BD是弦AC的垂直平分线，∴BD是圆的直径，∴∠BAD=90°. (2)解：∵CF∥AD，∴∠F=180°-∠BAD=90°.∵AC=AD，而AD=CD，∴△ACD是正三角形.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°.∵圆的半径长为8，即直径BD=16，∴AB=CB=BD=8.在Rt△BCF中，∠CBF=180°-60°×2=60°，CB=8，∴BF=CB=4. 类型二　圆与三角函数的综合 典例3　(2024·蚌埠三模) 如图，等腰△ABC内接于☉O，AB=AC，BF平分∠ABC交☉O的切线于点E，交☉O于点F，点A为切点. (1)求证：△ABE为等腰三角形； (2)若sin∠ABC=，☉O的半径为5，求CF的长. (1)证明：如图1，连接AO交BC于点H.∵EA是☉O的切线，∴∠HAE=90°，∴AE∥BC，∴∠E=∠EBC.∵BF平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠E，∴AB=AE，∴△ABE为等腰三角形. (2)解：如图2，连接OF交AC于点G，连接OC.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴，∴OG⊥AC.∵∠FOC=∠ABC，∴CG=OC·sin∠FOC=5×=3，∴OG==4，∴FG=OF-OG=5-4=1， ∴CF=. 类型三　圆与全等形、相似形的综合 典例4　(2024·合肥模拟) 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AD，对角线AC，BD相交于点E，F为AC上一点，∠BFC=∠BAD. (1)求证：∠ABF=∠CBD； (2)若∠BFC=2∠CFD，求的值. (1)证明：∵∠BFC=∠BAC+∠ABF，∠BAD=∠BAC+∠CAD.又∵∠BFC=∠BAD，∴∠BAC+∠ABF=∠BAC+∠CAD，即∠ABF=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠ABF=∠CBD. (2)解：作FG⊥BC于点G，如图.∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.又∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABD=∠ACB.由(1)可知∠ABF=∠CBD，∴∠ABF+∠DBF=∠CBD+∠DBF，即∠ABD=∠CBF，∴∠ACB=∠CBF，∴BF=CF.∵FG⊥BC，∴∠BFC=2∠CFG，BC=2CG.∵∠BFC=2∠CFD，∴∠CFG=∠CFD.∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠ACB=∠ACD.在△CFG和△CFD中， ∴△CFG≌△CFD(ASA)，∴CG=CD，∴BC=2CD，即CD∶BC=1∶2.∵∠ABF=∠CBD，∠BAF=∠BDC，∴△BAF∽△BDC，∴AF∶CD=BF∶BC，即AF∶BF=CD∶BC=1∶2，∴BF=2AF.∵BF=CF，∴CF=2AF，∴AC=AF+CF=3AF，∴. 第1题图 1.如图，AB为☉O的直径，点C，D在☉O上，，AD与CO交于点E，∠DAB=30°，若AO=，则CE的长为( ) A.1 B. C.-1 D.2-2 C 2.(2024·青阳县三模)如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图2，它的截面图可以近似看作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN.若☉O的半径为25，AB=36，BC=14，MN=30，则该平底烧瓶的高度为( ) A.20 B.40 C.60 D.80 D 第3题图 3.(2024·池州开学)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为其直径，☉D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为( ) A.120° B.135° C.145° D.150° B 第4题图 4.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC=120°，BC=3，则AB=　 　.  　6　 5.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC=  　.  第5题图 第6题图 6.(2024·安徽模拟)如图，△ABC内接于☉O，∠ABC=68°，∠ABC的平分线交☉O于点D，连接OD，CD，则∠ODC= 　 　°.  　56　 7.(2024·合肥模拟)如图，△ABC内接于☉O，BD为☉O的直径，AB=AC，∠A=70°，则∠ABD-∠CBD=　 　°.  　15　 8.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE. (1)求证：BD=CD； (2)若tan C=，BD=4，求AE的长. (1)证明：如图，连接AD.∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=∠E=90°.∵AB=AC，AD⊥BC，∴在等腰三角形ABC中，BD=CD. (2)解：∵BD=4，∴CD=4，则BC=8.∵在Rt△ACD中，tan C=，∴，即，解得AD=2，∴AC==2.∵∠C=∠C，∠ADC=∠E，∴△ADC∽△BEC，∴，即，解得AE=. 9.(2024·庐阳区校级三模)如图，在△ABC中，AC=BC，AB是☉O的直径，过A点作☉O的切线AD交BC的延长线于点D，延长AC交☉O于点E，连接BE. (1)求证：C为BD的中点； (2)若BE=，△ACD的面积是，求AC. (1)证明：∵AD与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠D+∠ABC=90°，∠CAD+∠CAB=90°.∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAB，∴∠D=∠CAD，∴AC=DC，∴BC=DC，∴C为BD的中点. (2)如图，作AF⊥BD于点F，则线段AF是△ACD的边DC上的高，也是△ACB的边BC上的高.易知S△ACD=DC·AF=，S△ACB=AF·BC，又由(1)知BC=DC，∴S△ACD=S△ACB=.∵AB是☉O的直径，∴∠E=90°，∴BE⊥AC，∴AC·BE=S△ACB=， ∴AC=，解得AC=2，∴AC的长是2. 10.(2024·烈山区三模)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的弦，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点D，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，BF的延长线与AC的延长线交于点E. (1)若∠CAB=α，求∠DBE的大小；(用含α的代数式表示) (2)若BD=5，BF=3，求线段CF的长. 解：(1)如图，连接OC.∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD.∵BF⊥CD，∴OC∥BE，∴∠DBE=∠COB.∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA=α，∴∠COB=∠CAB+∠OCA=2α，∴∠DBE=2α. (2)∵BF⊥CD，∴∠BFD=90°.∵BD=5，BF=3，∴DF==4.设☉O的半径为r，∵BF∥OC，∴△BDF∽△ODC，∴，∴，∴r=.∵BF∥OC，∴，∴，∴CF=6. 11.(2024·淮北模拟)如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD. (1)求证：CF是☉O的切线； (2)若cos B=，AD=5，求FD的长. (1)证明：如图，连接OC.∵AD是☉O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°.∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD.又∵∠DCF=∠CAD，∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是☉O的切线. (2)解：∵∠B=∠ADC，cos B=，∴cos∠ADC=.在Rt△ACD中，cos∠ADC=，AD=5，∴CD=AD·cos∠ADC=5×=3，∴AC==4，∴.∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴.设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+5.又∵FC2=FD·FA，即(4x)2=3x(3x+5)，解得x=(取正值)，∴FD=3x=. 12.如图，AB为☉O的直径，CD是☉O的切线，C为切点，连接BC.ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF. (1)求证：∠DCP=∠DPC； (2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB； (3)在(2)的条件下，OB=2，求阴影部分的面积. (1)证明：如图，连接OC.∵DC与☉O相切于点C，∴∠DCO=90°，∴∠DCP+∠BCO=90°.∵DE⊥OB，∴∠BEP=90°，∴∠BPE+∠CBO=90°.∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，∴∠DCP=∠BPE.又∵∠DPC=∠BPE，∴∠DCP=∠DPC. (2)证明：如图，连接OF，∵DE垂直平分OB，∴BF=OF.∵OB=OF，∴BF=OF=OB，∴△OBF为等边三角形，∴∠ABF=∠BOF=60°.∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF=30°.由圆周角定理，得∠BCF=∠BOF=30°，∴∠ABC=∠BCF， ∴CF∥AB. (3)解：由圆周角定理，得∠COF=2∠CBF=60°.∵OC=OF，∴△OCF为等边三角形.∵S△OCF=OC2=OB2=，S扇形COF=π，∴S阴影=S扇形COF-S△OCF=π-. $$