第二十三章 旋转 单元测试 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十三章 旋转 单元测试 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列中国传统纹样的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3.在图形旋转中，下列说法错误的是（　　） A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B.图形上的每一点转动的角度相同 C.图形上可能存在不动点 D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 4.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则α可以为（　　） A.30° B.54° C.72° D.108° 5.下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A.（0，0） B.（﹣1，0） C.（﹣1，﹣1） D.（0，﹣1） 7.正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（　　） A.沿顺时针方向旋转了45° B.沿逆时针方向旋转了45° C.沿顺时针方向旋转了90° D.沿逆时针方向旋转了90° 8.如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A.4 B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A.4 B. C. D.5 10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝2，CB＝4．将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，边BC上的一点P旋转后的对应点为Q，连接AQ，PD，则AQ+DP的最小值是（　　） A. B. C. D. 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，顶点A（0，2）在y轴上，点C在x轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点D对应点的坐标为（　　） A.（1，2﹣ ） B.（2﹣，﹣1） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2+，1） 12.如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点B顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣1） B.（7，2） C.（6，﹣1） D.（6，7） 二、填空题 13.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为        　． 14.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　        　． 15.在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1），（2，1），将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 　     　． 16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为　      　． 17.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△COD（点A，B的对应点分别为点C，D），AB与OD交于点E．当CD∥OB时，OE＝2DE，则此时点E的坐标为 　         　． 三、解答题 18.如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积． 19.如图，上面的图案是由什么基本图案经过怎样的旋转得到的？ 20.如图是“三菱”汽车的标志的图案，它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样旋转得到的？每次旋转了多少度？ 21.如图，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称. 22.已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB． （1）问题发现 如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　        　，BD、AB、CB之间的数量关系为　                  　． （2）拓展探究 当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． （3）解决问题 当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝　                  　． 人教版九年级上册 第二十三章 旋转 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】解：∵点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称， ∴点M（2，﹣3）， ∴点M（2，﹣3）在第四象限． 故选：D． 2.下列中国传统纹样的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3.在图形旋转中，下列说法错误的是（　　） A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B.图形上的每一点转动的角度相同 C.图形上可能存在不动点 D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 【答案】A 【解析】A.在图形旋转中，根据旋转的性质，图形上对应点到旋转中心的距离相等，故本选项错误； B.图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，正确； C.以图形上一点为旋转中心，则这个点不动，正确； D.旋转前后两个图形全等，则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等，正确． 故选：A． 4.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则α可以为（　　） A.30° B.54° C.72° D.108° 【答案】C 【解析】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了五次， 且旋转了五次刚好旋转了一周为360°， 所以每次旋转相同角度α=360÷5=72°． 故选：C． 5.下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意； B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意； C、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意； D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意； 故选：C． 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A.（0，0） B.（﹣1，0） C.（﹣1，﹣1） D.（0，﹣1） 【答案】B 【解析】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称， ∴△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称， 故选：B． 7.正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（　　） A.沿顺时针方向旋转了45° B.沿逆时针方向旋转了45° C.沿顺时针方向旋转了90° D.沿逆时针方向旋转了90° 【答案】C 【解析】解：（12﹣9）×30° ＝3×30° ＝90°． 答：钟表的分针从走到了12．分针顺时针方向旋转了90度． 故选：C． 8.如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A.4 B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线， ∴AO＝CO＝1，BO⊥AC， ∵△PQC与△BOC关于点C中心对称， ∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝， ∴AQ＝AO+CO+CQ＝3， ∴AP＝＝＝2． 故选：D． 9.如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A.4 B. C. D.5 【答案】D 【解析】解：如图，作CH⊥x轴于H． ∵A（3，0），B（0，1）， ∴OA＝3，OB＝1， ∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAO+∠HAC＝90°，∠HAC+∠ACH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， ∵AB＝AC， ∴△ABO≌△CAH（AAS）， ∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝3， ∴OH＝OA+AH＝3+1＝4， ∴C（4，3）， ∴OC＝＝＝5， 故选：D． 10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝2，CB＝4．将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，边BC上的一点P旋转后的对应点为Q，连接AQ，PD，则AQ+DP的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′P，过D作DH⊥CA于H， ∴AP＝A′P，A，C，A′共线，AC＝A′C＝2， 由旋转可得：AP＝AQ，AC＝AD＝2， ∴AQ+DP＝DP+AP＝DP+A′P≤A′D， 当A′，P，D三点共线时，AQ+DP＝A′D最小， ∵∠CAD＝120°， ∴∠DAH＝60°，∠ADH＝30°， ∴，， ∴A′H＝2+2+1＝5， ∴； ∴AQ+DP的最小值是； 故选：B． 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，顶点A（0，2）在y轴上，点C在x轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点D对应点的坐标为（　　） A.（1，2﹣ ） B.（2﹣，﹣1） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2+，1） 【答案】A 【解析】解：由题知， △ABD是等边三角形． 过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵点A坐标为（0，2）， ∴OA＝2， 则正方形ABCO的边长为2． ∴AD＝2，AM＝1． 在Rt△AMD中， DM＝， ∴点D的坐标为（1，2﹣）． 因为360°÷90°＝4， 所以每旋转四次点D的对应点循环出现． 因为2024÷4＝506， 所以第2024次旋转结束时，点D的对应点位置与点D重合， 所以第2024次旋转结束时，点D的对应点坐标为（1，2﹣）． 故选：A． 12.如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点B顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣1） B.（7，2） C.（6，﹣1） D.（6，7） 【答案】D 【解析】解：∵A（﹣2，3），B（2，3）， ∴AB＝2+2＝4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝4， ∴D（﹣2，7），C（2，7）， ∵每次旋转90°， ∴每4次旋转为一个循环， ∵2025÷4＝506……1， ∴第2025次旋转结束时与第1次旋转结束时的坐标相同， 如图所示，设点D绕点B第一次顺时针旋转90度的对应点为D′，连接BD，BD′，CD′， 由旋转的性质可得BD＝BD′，∠DBD′＝90， 由正方形的性质可得∠DBC＝45°， ∴∠D′BC＝45°＝∠DBC， 又∵BC＝BC， ∴△DBC≌△D′BC（SAS）， ∴∠BCD′＝∠BCD＝90°，D′C＝CD＝4 ∴D、C、D′三点共线， ∴点D′的坐标为（6，7）， ∴第2025次旋转结束时，点D的坐标为（6，7）， 故选：D． 二、填空题 13.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为        　． 【答案】π﹣2 【解析】解：连接AB，阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△ABO＝﹣×2×2＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 14.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　        　． 【答案】12 【解析】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3， ∴AB＝3， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 15.在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1），（2，1），将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 　     　． 【答案】（4，﹣1） 【解析】解：∵▱ABCD的对称中心是坐标原点， ∴顶点C与顶点A关于坐标原点对称， ∵A（﹣1，1）， ∴C（1，﹣1）， ∵将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度， ∴顶点C的对应点的坐标是（1+3，﹣1），即（4，﹣1）， 故答案为：（4，﹣1）． 16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为　      　． 【答案】 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED， ∴∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1， 连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD＝＝＝， 即B、D两点间的距离为． 17.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△COD（点A，B的对应点分别为点C，D），AB与OD交于点E．当CD∥OB时，OE＝2DE，则此时点E的坐标为 　         　． 【答案】（3，） 【解析】解：由旋转可知， OD＝OB，∠D＝∠ABO， ∵CD∥OB， ∴∠D＝∠DOB， ∴∠DOB＝∠ABO， ∴EO＝EB． ∵点B的坐标为（6，0）， ∴OD＝OB＝6， 又∵OE＝2DE， ∴OE＝4． 过点E作x轴的垂线，垂足为M， ∵EO＝EB， ∴OM＝BM， 则OM＝3． 在Rt△OEM中， EM＝， ∴点E的坐标为（3，）． 故答案为：（3，）． 三、解答题 18.如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）作CE⊥AB，由∠ABC＝30°，BC＝2， 得CE＝BC＝1， 得菱形ABCD的面积＝AB•CE＝2×1＝2． 【解析】 19.如图，上面的图案是由什么基本图案经过怎样的旋转得到的？ 【答案】解：图案是由△ABC绕点O顺时针旋转90°三次得到的． 【解析】 20.如图是“三菱”汽车的标志的图案，它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样旋转得到的？每次旋转了多少度？ 【答案】解：可以看作是由一个四边形（或四边形、四边形）通过两次旋转得到的，每次旋转角度分别是、． 【解析】 21.如图，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称. 【答案】证明：连接BE、DF． ∵▱ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2， ∵三角形ADE是等边三角形， ∴DE=AD，∠3=60°， ∵等边三角形BCF， ∴BC=BF，∠4=60°， ∴DE=BF， ∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BDE=∠DBF， ∴DE∥BF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴点E，A，D绕着点O顺时针旋转180°后与△BCF重合， ∴△ADE和△BCF关于点O成中心对称． 【解析】 22.已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB． （1）问题发现 如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　        　，BD、AB、CB之间的数量关系为　                  　． （2）拓展探究 当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． （3）解决问题 当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝　                  　． 【答案】解：（1）如图（1），过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°， ∴∠BAC+∠D＝180°， ∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE＝CB， ∴BE＝AE+AB＝DB+AB， ∴BD+AB＝CB； 故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB； （2）如图（2），过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE＝CB， ∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB， ∴BD﹣AB＝CB； （3）如图（3），过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD， ∵∠AFC＝∠BFD， ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE＝CB， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB， ∴AB﹣DB＝CB； ∵△BCE为等腰直角三角形， ∴∠BEC＝∠CBE＝45°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠DBH＝45° 过点D作DH⊥BC， ∴△DHB是等腰直角三角形， ∴BD＝BH＝2， ∴BH＝DH＝， 在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝， ∴CH＝DH＝×＝， ∴BC＝CH﹣BH＝﹣； 故答案为：﹣． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$