18.1分式及其基本性质　讲义　2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.1 分式及其基本性质 【学习目标】 1．理解分式的概念． 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件：能熟练地求出分式有意义的条件分式的值为零的条件． 3．经历类比分数的基本性质得到分式的基本性质，培养学生类比的推理能力． 4．运用分式的基本性质进行相关的分式变形． 5．了解最分式，最简公分母的概念，并能正确识别最简分式，能确定几个分式的最简公分母． 【新知探究】 知识梳理1 分式的概念 知识梳理2 分式有意义、无意义的条件 知识梳理3 分式的值为0的条件 知识梳理4 分式的基本性质 知识梳理5 分式的约分、最简分式 知识梳理6 分式的通分 知识梳理1 分式的概念 1．分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2．一个式子是分式需满足的三个条件： （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 3．注意 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 【例1】　（2025春•榆阳区校级月考）下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】　（2025春•隆昌市校级期末）在，，，，，a中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】　（2025春•白银区校级期末）下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【例4】　（2025春•金凤区校级月考）在中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识梳理2 分式有意义、无意义的条件 1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2．分式无意义的条件：分式的分母等于0． 3．注意 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 【例5】　（2025春•桐城市校级月考）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≠5 C．x≠3且x≠5 D．x≠4 【例6】　（2025春•惠济区期末）要使分式有意义，x的取值范围为（　　） A．x≠3 B．x≠﹣3 C．﹣3＜x＜3 D．x≠3且x≠﹣3 【例7】　（2025春•萧县期末）要使分式有意义，a应满足的条件是（　　） A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a＝﹣3 D．a≠﹣3 【例8】　（2025春•南关区校级月考）当x＝﹣3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A．﹣3 B． C． D． 知识梳理3 分式的值为0的条件 分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【例9】　（2025春•市中区校级期末）若分式的值为零，则x等于（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 【例10】　（2025•茅箭区校级模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【例11】　（2025春•莲都区期末）若分式的值为零，则a的值是（　　） A．a＝﹣1 B．a≠﹣1 C． D．a 【例12】　（2025春•蜀山区期末）若分式的值为0，则（　　） A．x≠5 B．x＝5 C．x＝1 D． 知识梳理4 分式的基本性质 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 2．分式的基本性质是分式变形的理论依据． 3．注意 （1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． 4．分式的符号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或． 【例13】　（2025春•寿县校级月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【例14】　（2025春•隆昌市校级期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【例15】　（2025春•邗江区校级月考）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【例16】　（2025春•桐城市校级月考）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 知识梳理5 分式的约分、最简分式 1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 3．约分时需要注意的问题： （1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分； （2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a-5与5-a表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（a-5）； （3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面． 【例17】　（2025春•宝鸡期末）化简：（　　） A．3x B． C． D． 【例18】　（2024秋•三亚期末）下列分式的约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【例19】　（2025春•灵武市期末）化简分式： 　　 ． 【例20】　（2025春•江阴市校级月考）分式①②③④中，属于最简分式的有　　 （填序号） 知识梳理6 分式的通分 1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2．约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 3．最简公分母： 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 4．注意 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 5．确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 6．通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【例21】　（2022秋•澧县校级期末）分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【例22】　（2023秋•永定区期末）通分：，，． 【例23】　（2024春•洪泽区校级期中）通分 （1）； （2）． 【例24】　（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•舞阳县期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•莱芜区二模）化简：得（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•高县期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x≠0 D．x≠﹣3且x≠0 4．（2025春•青岛期末）将分式中的m，n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 5．（2025春•长安区校级月考）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•雁江区期末）若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．±6 D．3 7．（2025春•尉氏县期末）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数 8．（2025春•平昌县校级月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 9．（2025春•平昌县校级月考）下列各式与相等的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•临潼区校级月考）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•碑林区校级月考）当x　 　 时，分式有意义． 12． （2025•浙江模拟）已知分式，若当x＝1时分式的值为0，则实数a的值为 　 　 ． 13． （2025春•光明区期末）若，则x＝　 　 ． 14． （2025春•玄武区校级期中）当x＝　 　 时，分式无意义． 15． （2025春•市南区期末）化简：　 　 ． 16． （2025春•平昌县校级月考）若把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值 　 　 （①扩大3倍；②缩小3倍；③不变）选择正确的序号． 17． （2025春•平昌县校级月考）找最简公分母：（1）与 　 　 ， （2）与 　 　 ． 18． （2025春•平昌县校级月考）化简：（1） 　 　 ， （2） 　 　 ，（3） 　 　 ． 19． （2025春•南关区校级月考）分式与的最简公分母是 　 　 ． 20． （2025春•双流区期末）若，则　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•长春一模）先约分，再求值：，其中x＝2，y＝3． 21． （2025•顺义区二模）已知3a+b﹣2＝0，求代数式的值． 22． （2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 23． （2025•北京模拟）已知x+3y﹣1＝0，求代数式的值． 25．（2025春•无锡期中）约分： （1）； （2）． 26．（2025春•宿城区期中）已知分式，回答下列问题： （1）若分式的值是零，求x的值； （2）若分式的值是正数，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$