1.2.2 充分条件和必要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

1.2.2 充分条件和必要条件 作者编号：32100 1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件、定义与充要条件之间的关系. 3.掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件和充要条件的判定方法. 4.掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件和充要条件的简单应用. 学习目标 作者编号：32100 想一想： 1.如果你是年级第一一定会是班级第一吗? 2.如果你是班级第一一定会是年级第一吗? 一定 不一定 数学上如何定义这种关系呢？ 新课导入 作者编号：32100 知识点一：充分条件、必要条件 定义：当“若p,则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. p⇒q可理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的； 反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的. 若p⇏q时，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件. 新知讲解 作者编号：32100 (1)若两个三角形全等，则它们相似； 该命题为真命题；故“全等”是“相似”的充分条件，“相似”是“全等”的必要条件. 例如， (2)若两个三角形相似，则它们全等； 该命题为假命题；故“相似”不是“全等”的充分条件，“全等”不是“相似”的必要条件. 新知讲解 作者编号：32100 (3)若实数，则； 该命题为真命题；故“实数”是“”的充分条件，“”是“实数”的必要条件. (4)若四边形为菱形，则； 该命题为真命题；故“四边形为菱形”是“”的充分条件，“”是“四边形为菱形”的必要条件. 新知讲解 作者编号：32100 (5)若则方程没有正的实根； 该命题为假命题；故“”不是“方程没有正的实根”的充分条件，“方程没有正的实根”也不是“”的必要条件. (6)若，则. 该命题为真命题；故“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件. 新知讲解 作者编号：32100 知识点二：充要条件 定义：如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件.当然，此时q也是p的充分必要条件. 换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件. 新知讲解 作者编号：32100 命题(3)“若实数，则”的逆命题也是真命题，故“实数”是“”的充分必要条件，“”也是“实数”的充分必要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价. 两个互相等价的命题或条件通常是对同一事物从不同角度所作的描述. 例如，三角形全等的判别条件，，分别从不同方面描述了两个三角形全等的同一个事实，它们互相等价. 例如， 作者编号：32100 分析：分别考虑命题“若，则”和“若，则”的真假性. 例1 从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空： (1)是为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的_______________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_______________； (4)若，则是的_______________. 解 (1)，.因此应填“充分而不必要条件”. (2)四边形为矩形四边形的两对角线相等，反之不成立.因此应填“必要而不充分条件”. 典型例题 作者编号：32100 (3)四边形的一组对边平行且相等四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”. (4)当时，，.因此应填“既不充分也不必要条件”. 例1 从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空： (1)是为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的_______________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_______________； (4)若，则是的_______________. 典型例题 作者编号：32100 例2 试证： (1)在实数范围内，是的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. 证明：:(1)，则是的充分条件； 由于，故， 则不是的必要条件. 因此，是的充分而不必要条件. 典型例题 作者编号：32100 例2 试证： (1)在实数范围内，是的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. (2)记：四边形的两组对边分别相等，：四边形为矩形. 由于矩形是特殊的平行四边形，，则是的必要条件； 对于两组对边分别相等的四边形，只能判断它是平行四边形的，不能判断 为矩形，即，则不是的充分条件. 因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. 典型例题 作者编号：32100 在学习平面几何时，我们知道有性质定理和判定定理的说法.例如，“等腰三角形两底角相等”叫作等腰三角形的性质定理.意思是说等腰三角形必有“两底角相等”这条性质，即此性质是等腰三角形的必要条件. 反过来，“有两角相等的三角形是等腰三角形”叫作等腰三角形的判定定理，它揭示了具备此条件的三角形肯定是等腰三角形，即它是三角形成为等腰三角形的充分条件. 把性质定理和判定定理综合起来就是简单的一句话：“两角相等是三角形为等腰三角形的充要条件.”使用充要条件、必要条件和充要条件这些逻辑用语来表述，学过的数学知识就更有条理了. 新知讲解 作者编号：32100 例3 下面列出直角三角形的6条性质，试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件. ①两锐角之和等于直角； ②有且只有一条边是最长边； ③有一条边上的中线等于此条边的一半； ④有一边的平方等于另外两边的平方之和； ⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方； ⑥有一条边是三角形外接圆的直径. 解：以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件. 典型例题 作者编号：32100 例4.求证：关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：由ac<0可得b²-4ac>0及x1∙x2=<0, ∴方程ax²+bx+c=0,有两不相等的实根，且两根异号， 即方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性：由于方程ax²+bx+c=0,有一正根和一负根， ∴∆=b²-4ac>0,x1∙x2=<0,∴ac<0. 综上可知，关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 典型例题 作者编号：32100 充要条件的证明方法 方法归纳 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“p成立的充要条件为q”; ①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p; ②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求. (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 作者编号：32100 1.指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a+b=0，q：a²+b²=0; (2)p；四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：平行四边形，q：正方形； (4)p：m<-1，q：x²—x—m=0无实根. 必要不充分条件 必要不充分条件 必要不充分条件 充分不必要条件 当堂检测 作者编号：32100 解析：(1)∵a+b=0⇏a²+b²=0；a²+b²=0⇒a+b=0， ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等 ，∴p是q的必要不充分条件. (3)由图可知B⇏A,所以p是q的必要不充分条件. (4)若方程x²-x-m=0无实根，则∆=1+4m<0,即 m<-.∵m<-1⇒m<-，m<- ⇏ m<-1, ∴p是q的充分不必要条件. B：平行四边形 A：正方形 小范围 ⟹ 大范围 大范围 ⇏ 小范围 当堂检测 作者编号：32100 2.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ) A.为二次函数 B. C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 D.或 AD 当堂检测 作者编号：32100 充分条件、必要条件判断方法 方法归纳 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断(p⇒q)和(q⇒p)是否成立，最后得出结论. (2)命题判断法：①如果命题“若p,则q”为真命题，那么p是q的充分条件同时q是p的必要条件；②如果命题“若p,则q”为假命题，那么p不是q的充分条件的同时q也不是p的必要条件. (3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围. (4)传递法：由(p1⇒p2⇒p3⇒...⇒pn),得pn是p1的必要条件. 作者编号：32100 3.是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：令或 由，得 当时，即即 此时或 ∴当时，是或的充分条件. 当堂检测 作者编号：32100 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下： (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 方法归纳 作者编号：32100 (1)充分条件、必要条件的判断； (2)“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件”的判断. 结合以下内容，谈谈你的收获： 本课小结 作者编号：32100 $$