5.3用待定系数法确定二次函数表达式（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 5.3 用待定系数法 确定二次函数表达式 第五章 二次函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 掌握用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤 区分二次函数表达式的三种形式，能根据已知条件选取合适的形式去设表达式 新知探究 思 考 1.1 已知二次函数y = ax2的图像经过点( 2，-16 )，求这个函数的表达式。 解：将( 2，-16 )代入y = ax2，得：4a = -16， 解一元一次方程得：a = -4， ∴这个函数的表达式为y = -4x2。 新知探究 思 考 1.2 已知二次函数y = ax2 + c的图像经过点( -1，5 )和( 2，8 )， 求这个函数的表达式。 解：将( -1，5 )和( 2，8 )代入y = ax2 + c，得：， 解二元一次方程组得：， ∴这个函数的表达式为y = x2 + 4。 新知探究 思 考 1.3 已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点( -1，10 )，( 1，4 )，( 0，3 )， 求这个函数的表达式。 解：将( -1，10 )，( 1，4 )，( 0，3 )代入y = ax2 + bx + c， 得：， 解三元一次方程组得：， ∴这个函数的表达式为y = 4x2 - 3x + 3。 新知探究 已知二次函数的含参表达式 ( 如y = ax2、y = ax2 + c、y = ax2 + bx + c等 ) 和图像上点的坐标，如何将表达式求出来？ 解：直接代入已知点的坐标，解关于参数的方程 ( 组 )。 若未知二次函数的含参表达式，只知二次函数图像上点的坐标，又该如何？ 解：先设出二次函数的含参表达式。 新知探究 思 考 1.3改 已知二次函数的图像经过点( -1，10 )，( 1，4 )，( 0，3 )， 求这个函数的表达式。 解：设二次函数的表达式为y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) ——一般式 将( -1，10 )，( 1，4 )，( 0，3 )代入y = ax2 + bx + c， 得：，解三元一次方程组得：， ∴这个函数的表达式为y = 4x2 - 3x + 3。 注意：设表达式时，a ≠ 0莫忘写！ 新知探究 待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 知识要点 一设 设二次函数的表达式 一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 二代 代入已知点的坐标 三解 解方程 ( 组 )，求得系数 题型探究 【例1】 ( 1 ) 已知抛物线y = ax2 + bx + 2过点A ( -1，-1 )，B ( 1，3 )， 求此抛物线的表达式。 待定系数法——一般式 题型一 解：将A ( -1，-1 )，B ( 1，3 )分别代入y = ax2 + bx + 2， 得：， 解得：， ∴此抛物线的表达式为y = -x2 + 2x + 2。 题型探究 【例1】 ( 2 ) 已知二次函数y = 2x2 + bx + c的图像经过点( 1，1 )与( -1，9 )， 求此函数的表达式。 待定系数法——一般式 题型一 解：将( 1，1 )与( -1，9 )分别代入y = 2x2 + bx + c， 得：， 解得：， ∴此函数的表达式为y = 2x2 - 4x + 3。 题型探究 【例1】 ( 3 ) 如图，已知二次函数y = ax2 - 4x + c的图像经过点A和点B， 求该二次函数的表达式。 待定系数法——一般式 题型一 解：由图像可知：A ( -1，-1 )，B ( 3，-9 )， 将A ( -1，-1 )，B ( 3，-9 )分别代入y = ax2 - 4x + c， 得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y = x2 - 4x - 6。 题型探究 【例2】一个二次函数的图像经过( -1，-1 )，( 0，0 )，( 1，9 )三点， 求这个二次函数的表达式。 待定系数法——一般式 题型一 已知三点，设一般式 解：设这个二次函数的表达式为y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )， 将( -1，-1 )，( 0，0 )，( 1，9 )分别代入，得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y = 4x2 + 5x。 新知探究 思 考 2.1 已知二次函数y = a( x - h )2 + k的顶点为( 2，-5 )，且图像过点( 1，-14 )， 求此函数的表达式。 解：由题意可得：y = a( x - 2 )2 - 5， 将( 1，-14 )代入，得：a( 1 - 2 )2 - 5 = -14， 解得：a = -9， ∴此函数的表达式为y = -9 ( x - 2 )2 - 5，即y = -9x2 + 36x - 41。 新知探究 思 考 2.2 已知二次函数y = a( x - h )2 + k的对称轴为直线x = 1，且过点( 3，0 )和( 0，3 )，求此函数的表达式。 解：由题意可得：y = a( x - 1 )2 + k， 将( 3，0 )和( 0，3 )分别代入，得：， 解得：， ∴此函数的表达式为y = - ( x - 1 )2 + 4，即y = - x2 + 2x + 3。 新知探究 思 考 2.1改 求以( 2，-5 )为顶点，且图像过点( 1，-14 )的二次函数的表达式。 解：设二次函数的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )——顶点式 由题意可得：y = a( x - 2 )2 - 5， 将( 1，-14 )代入，得：a( 1 - 2 )2 - 5 = -14， 解得：a = -9， ∴此函数的表达式为y = -9 ( x - 2 )2 - 5，即y = -9x2 + 36x - 41。 先设出含参表达式 新知探究 思 考 2.2改 求对称轴为直线x = 1，且过点( 3，0 )和( 0，3 )的二次函数的表达式。 解：设二次函数的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )——顶点式 由题意可得：y = a( x - 1 )2 + k， 将( 3，0 )和( 0，3 )分别代入，得：， 解得：， ∴此函数的表达式为y = - ( x - 1 )2 + 4，即y = - x2 + 2x + 3。 新知探究 待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 知识要点 一设 设二次函数的表达式 一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 顶点式 y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 二代 代入已知点的坐标 三解 解方程 ( 组 )，求得系数 题型探究 【例3】 ( 1 ) 已知抛物线的顶点为( 1，-4 )，且经过点( 3，0 )， 求该抛物线的表达式。 待定系数法——顶点式 题型二 已知顶点 + 另一点坐标，设顶点式 解：设抛物线的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )， 由题意可得：y = a( x - 1 )2 - 4， 将( 3，0 )代入，得：a( 3 - 1 )2 - 4 = 0， 解得：a = 1， ∴该抛物线的表达式为y = ( x - 1 )2 - 4，即y = x2 - 2x - 3。 即顶点坐标( 3，-1 ) 【例3】 ( 2 ) 已知二次函数的图像过点( 0，7 )，当x = 3时，y最小值 = -1， 求这个二次函数的表达式。 题型探究 待定系数法——顶点式 题型二 已知顶点 + 另一点坐标，设顶点式 解：设抛物线的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )， 由题意可得：顶点坐标为( 3，-1 )，则y = a( x - 3 )2 - 1， 将( 0，7 )代入，得：a( 0 - 3 )2 - 1 = 7， 解得：a = ， ∴此二次函数的表达式为y = ( x - 3 )2 - 1，即y = x2 - x + 7。 即顶点坐标( 3，4 ) 题型探究 待定系数法——顶点式 题型二 【例3】 ( 3 ) 已知二次函数的图象过点( 4，-3 )，当x = 3时，y最大值 = 4， 求这个二次函数的表达式。 已知顶点 + 另一点坐标，设顶点式 解：设抛物线的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )， 由题意可得：顶点坐标为( 3，4 )，则y = a( x - 3 )2 + 4， 将( 4，-3 )代入，得：a( 4 - 3 )2 + 4 = -3， 解得：a = -7， ∴此二次函数的表达式为y = -7 ( x - 3 )2 + 4，即y = -7x2 + 42x - 59。 题型探究 待定系数法——顶点式 题型二 【例4】已知二次函数的图象经过点A ( 1，-2 )和B ( 0，-1 )，且对称轴为x = 1，求这个二次函数的表达式。 已知对称轴 + 其他两点坐标，设顶点式 解：设抛物线的表达式为y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )， 由题意可得：y = a( x - 1 )2 + k， 将( 1，-2 )和( 0，-1 )分别代入，得：， 解得：， ∴此函数的表达式为y = ( x - 1 )2 - 2，即y = x2 - 2x - 1。 题型探究 方法技巧 根据例题总结 ——设二次函数的表达式时三种形式的选择： 形式 一般式 顶点式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 使用条件 已知任意三点的坐标 已知顶点 + 另一点坐标 已知对称轴 + 其他两点坐标 新知探究 思 考 3.1 已知抛物线过( -2，0)，(1，0)，( 0，2 )三点，这条抛物线的表达式。 解：设这条抛物线的表达式为y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )， 将( -2，0 )，( 1，0 )，( 0，2 )分别代入，得：， 解得：， ∴这条抛物线的表达式为y = -x2 - x + 2。 新知探究 思 考 3.2 注意观察( -2，0 )，( 1，0 )，( 0，2 )这三个点的坐标， 含参表达式还可以设成其他形式吗？ 解： 令y = -x2 - x + 2 = 0，即- ( x + 2 )( x - 1 ) = 0，解得：x = -2或x = 1。 ∴形式如y = a( x + 2 )( x - 1 )的抛物线必过( -2，0 )，( 1，0 )两点， 反之，过( -2，0 )，( 1，0 )两点的抛物线可设成y = a( x + 2 )( x - 1 )的形式。 ( -2，0 )，( 1，0 ) 抛物线与x轴的两个交点的坐标 新知探究 二次函数的交点式： 若抛物线过( x1，0 )，( x2，0 )两点， 则抛物线可设成y = a( x - x1 )( x - x2 )的形式，即交点式。 知识要点 新知探究 知识要点 已知抛物线过( -2，0 )，( 1，0 )，( 0，2 )三点，这条抛物线的表达式。 ( 设交点式求解 ) 解：设这条抛物线的表达式为 y = a( x - x1 )( x - x2 ) ( a ≠ 0 )——交点式， 由题意可得：y = a( x + 2 )( x - 1 )， 将( 0，2 )代入，得：a( 0 + 2 )( 0 - 1 ) = 2， 解得：a = -1， ∴这条抛物线的表达式为y = - ( x + 2 )( x - 1 )， 即y = -x2 - x + 2。 注意： 求出的交点式必须化成一般式！！！ 新知探究 待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 知识要点 一设 设二次函数的表达式 一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 顶点式 y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 交点式 y = a( x - x1 )( x - x2 ) ( a ≠ 0 ) 二代 代入已知点的坐标 三解 解方程 ( 组 )，求得系数 题型探究 待定系数法——交点式 题型三 【例5】 已知抛物线过( -1，0 )，( 5，0 )，( 3，16 )三点， 求该抛物线的表达式。 已知与x轴的两个交点 + 另一点坐标 解：设抛物线的表达式为y = a( x - x1 )( x - x2 ) ( a ≠ 0 )， 由题意可得：y = a( x + 1 )( x - 5 )， 将( 3，16 )代入，得：a( 3 + 1 )( 3 - 5 ) = 16， 解得：a = -2， ∴该抛物线的表达式为y = -2 ( x + 1 )( x - 5 )，即y = -2x2 + 8x + 10。 题型探究 方法技巧 根据例题总结 ——设二次函数的表达式时三种形式的选择： 形式 一般式 顶点式 交点式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) y = a( x - x1 )( x - x2 ) ( a ≠ 0 ) 使用条件 已知任意三点的坐标 已知顶点 + 另一点坐标 已知与x轴的两个交点+ 另一点坐标 已知对称轴 + 其他两点坐标 课堂小结 一设 设二次函数的表达式 一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 顶点式 y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 交点式 y = a( x - x1 )( x - x2 ) ( a ≠ 0 ) 二代 代入已知点的坐标 三解 解方程 ( 组 )，求得系数 待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 感谢聆听! $$