5.4 二次函数与一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.4 二次函数与一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.【2023广东广州天河区期末】二次函数的图像与 轴的交点个数 是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】令，则 ， 方程有2个不相等的实数根， 抛物线与 轴有2个交点.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 方法总结 不画图像，判断二次函数的图像与 轴的公共点的个数时，一般先把它转化成判断 相应的一元二次方程的根的情况，然后根据根的判别式与0的大小关系得出结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 2.【2024山西晋城期末】已知二次函数的图像与轴有交点，则 的取值范围是( ) D A. B.且 C.且 D.且 【解析】是二次函数， 二次函数 的 图像与轴有交点， 方程有实数根， ， 解得.综上,的取值范围是且 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 3.【2023江苏宿迁期末】若二次函数的图像经过点 ，则 方程 的解为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】， 二次函数图像的对称轴为 直线 二次函数的图像经过点， 二次函数图像 与轴的另一个交点坐标为， 方程的解为 ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2022黑龙江大庆中考】已知函数 的图像与坐标轴恰有 两个公共点，则实数 的值为_______. 1或 思路分析 【解析】当时，函数为 ，图像与坐标轴只有一个交点，不符合题 意．当时，由函数 的图像与坐标轴恰有两个公共点， 得①过坐标原点时，，；②与, 轴各有一个交点时， ，且,.综上所述，的值为1或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5.【2023江苏扬州期末】二次函数的图像如图所示，若关于 的一元 二次方程有实数根，则 的最大值为___. 7 【解析】由题意得，一元二次方程 有实数根，则二次函数 的图像与直线有交点.由图像得，，解得 ， 的最大值为7.故答案为7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.【2024江苏南京鼓楼区质检】已知二次函数 . （1）求证：无论为何值，该函数的图像与 轴总有公共点； 【证明】当时， ， ， 该方程总有实 数根， 无论为何值，该函数的图像与 轴总有公共点. （2）已知该函数的图像在 轴上截出的线段长为8，且原点位于该图像的上方，求 的值. 【解】令，则，解得，， 该函数图像 与轴有两个交点， 该函数图像在 轴上截出的线段长为8， ，或 原点位于该图像的上方， 当 时， ，即， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似解 7.二次函数（，，，为常数）中，函数与自变量 的部 分对应值如下表，则方程 的一个解的范围是( ) … 3.17 3.18 3.19 … … 0.02 … B A. B. C. D. 【解析】由表格中的数据看出 和0.02更接近于0，且不同号，故方程 的一个解的范围为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 知识点3 用二次函数的图像解不等式 （第8题图） 8.【2023江苏南京期末】如图是二次函数 的图像， 则不等式 的解集是( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】由抛物线和轴的交点为，对称轴为直线 ，得当 或时，，故不等式的解集为 或 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.【2024江苏盐城期末】如图，抛物线与直线 交于点 ,，则不等式 的解集是____________. （第9题图） 【解析】 抛物线与直线交于, 两点. 可变形为， 由图像可知 的 解集为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 （第10题图） 10.若二次函数（,, 为常数）的图像如图所 示，则关于的不等式 的解集为 _______________. 或 【解析】由图像可得或时，， 当 时，或 ，解得 或.故答案为或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 刷易错 易错点 忽略二次函数的图像与 轴有交点的前 提是 11.已知抛物线与轴交于， 两点，且 ，则 的值为___. 2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 【解析】 抛物线与 轴交于两点， .① 由题意知方程 的两根为 ， .由根与系数的关系，得 ， ， 即，，.当时，代入①满足；当 时， 代入①不满足.综上， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 易错警示 一元二次方程的根与系数的关系是在 的前提下使用 的,因此本题在求得的值后,必须判断是否能够使得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 提升 1. 【2023江苏常州质检，中】若二次函数的图像与 轴交于 ，两点，且，则 ( ) B A. B. C.或 D.0或 【解析】的图像与轴交于，两点，, 是方 程的两个根， ， ， ， 解得或.的图像与轴有两个交点， ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第2题图） 2.【2024江苏徐州期中，中】二次函数 的图像如图所 示，若关于的一元二次方程（ 为实数）的解满 足，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 思路分析 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 【解析】关于的一元二次方程的解就是抛物线 与 直线的交点的横坐标.， 抛物线的对称轴 为直线，且最大值为4，和时的函数值相等.如图，当 时， ， 由图像可知若关于的一元二次方程 （为实数）的解满足，则的取值范围是 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 3.［中］已知二次函数的图像经过与两点，关于 的 方程有两个根，其中一个根是3，则关于 的方程 有两个整数根，这两个整数根是( ) B A.和0 B.和2 C.和3 D. 和4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解析】 二次函数的图像经过与两点， 当 时，的两个根为和1，函数 的图像的对称轴是 直线.又 关于的方程 有两个根，其中一个 根是3, 另一个根为，易知函数的图像开口向下. 关于 的 方程有两个整数根， 抛物线 与轴的一个交点的横坐标在与 之间，另一个交点的横 坐标在1与3之间, 关于的方程 的两个整数根 符合上述范围的是 和2.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第4题图） 4.【2024江苏扬州邗江区期末，中】如图，抛物线 与直线 的交点的横坐标是2，则关于的不等式 的解 集是____________. 【解析】如图，直线与直线关于 轴对称，抛物 线关于轴对称，设直线与抛物线 交于 点， 直线与抛物线的交点和直线 与 抛物线的交点关于轴对称，的横坐标是.由 得 ，其解集就是抛物线在直线的上方时自变量 的范围， 观察图像知，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 5.【2024江苏宿迁宿城区期末，中】已知直线 经过抛物线 的顶点，且当时，，则当时， 的取值范围是 __________. 【解析】抛物线的顶点坐标为.将 代 入并整理得 ， ， 直线过点，抛物线和 轴的交 点为和.结合当时， ，可知抛物线和直线的大 致图像如图所示.结合函数图像知，当时，， 的取值范围是 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 思路分析 由，,可知直线过点 ，抛 物线和轴的交点为和，结合当时， ，得到抛物线和直线的 大致图像，结合图像可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 6.【2024江西宜春期末，较难】已知抛物线， ， 若这两条抛物线与轴共有3个交点，则 的值为__________. 0或6或 【解析】， 抛物线与 轴 的交点坐标为, 抛物线，与 轴 共有3个交点， 分三种情况：①抛物线与 轴有1个交点，则有 ，解得；②抛物线 经过点 ，则有，解得；③抛物线 经 过点，则有，解得.综上，的值为 或0或6， 故答案为 或0或6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 7.［较难］将抛物线在轴下方的部分沿 轴翻折，图像其余部分 不变，得到一个新图像如图所示，当直线与新图像恰有三个公共点时， 的值为______. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 【解析】 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点 坐标为.令，则，解得 ， ，， 点关于 轴的对称点为 ， 如图，曲线 所对应的函数表达式为 .当直线 与新图像恰有三 个公共点时，有以下两种情况： ①当直线过点时，，解得 ； ②当直线与抛物线 只有一个公共点时， 令，即， ， 解得.综上所述，的值为1或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 思路分析 先根据已知抛物线的表达式求出点, 的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求 出曲线所对应的表达式，最后根据直线 与新图像恰有三个公共点， 结合图像进行计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 刷素养 走向重高 8.核心素养 模型观念【2023河南安阳期末，较难】某班数学兴趣小组对函数 的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题. （1）自变量的取值范围是全体实数，与 的几组对应值如下表： … - 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 其中， ___. 0 【解】将代入可得， .故答案为0. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的 一部分，请画出该函数图像的另一部分. 【解】如图. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （3）进一步探究函数图像，解决下列问题： ①方程 的实数根有___个； 3 【解析】从图像上看函数图像与轴有3个交点，故对应方程 有3个根. 故答案为3. ②关于的方程有4个实数根时， 的取值范围是____________； 【解析】有4个实数根，即和 的图像有4个交点， 从图像看，此时.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 ③结合图像，直接写出关于的不等式 的解集. 【解】且.当时，，令 ，解得 ，；当时，，令，解得 （舍去），， 直线与函数的图像交点横坐标为 ，0， 3.如图，由图像得，当且时， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 $$