九下 2.3 垂径定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(湘教版)

该初中数学教案聚焦“垂径定理”，通过折纸操作引导学生探究圆的对称性及直径垂直弦时的等量关系，搭建从直观感知到抽象定理的学习支架，衔接圆的轴对称性与等腰三角形性质。 此教案突出动手探究与逻辑推理融合，折纸猜想后引导证明定理，例2分同侧、异侧计算两平行弦距离，培养几何直观与推理能力，体现模型意识，助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学流程与分层实例，提升课堂效率与学生应用能力。

课题 第2章 2.3 垂径定理 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证． 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算． 二、过程与方法  在探索圆的对称性以及垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力. 三、情感、态度与价值观  通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点、难点 教学重点：垂径定理及运用. 教学难点：用垂径定理解决实际问题. 教学方法 垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据。动脑筋栏目引导学生发现教材图2-28中相等的线段和弧，接着，利用等腰三角形的性质证明了垂径定理。 教学准备 多媒体课件 教学过程 1.新课导入 教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下： ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，AB是☉O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作） 学生回答或展示： 【说明】 （1）是轴对称图形，对称轴是直线CD． （2）AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 2.讲授新课 探究1—垂径定理及其推论的证明． 1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程． 已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M． 求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 【说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由☉O关于直线CD对称，可得弧AC=弧BC，弧AD=弧BD．学生尝试用语言叙述这个命题． 2.得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论（垂径定理推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.学生讨论写出已知、求证，并说明．  学生回答： 【说明】已知AB为☉O的弦（AB不过圆心O），CD为☉O的直径，AB交CD于点M，MA=MB. 示证：CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 证明：在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB．又CD为☉O的直径，∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？ 学生回答： 【说明】当AB为☉O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直． 探究2—垂径定理在计算方面的应用． 例1：讲教材P59例1. 例2：已知☉O的半径为13 cm，弦AB//CD，AB=10 cm，CD=24 cm，求AB与CD间的距离． 解：（1）当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连接OA、OC．∵AB//CD，∴ON⊥CD于N．在Rt△AOM中，AM=5 cm，OM=12 cm．在Rt△OCN中，CN=12 cm，ON=5 cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7 cm. （2）当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM=12 cm，ON=5 cm，MN=OM+ON，∴MN=17 cm，∴AB与CD间的距离是7 cm或17 cm． 【说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去． 2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况：AB、CD在O点的同侧和AB、CD在O点的两侧． 探究3—与垂径定理有关的证明． 例3：讲教材P59例2. 【说明】1.作直径EF⊥AB，∴弧AE=弧BE. 又AB//CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴弧CE=弧DE， ∴弧AE=弧CE=弧BE-弧DE，即弧AC=弧BD. 2.说明直接用垂径定理即可． 3.课堂小结 （1）知识内容小结：要点由学生共同来总结。 （2）学习方法小结： 垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题. 在解决与垂径定理有关的实际问题时，将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答. 4.板书设计 教学设计反思 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$