九下 2.5.2 第2课时 切线的性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦圆的切线性质定理及推论，通过“动脑筋”提问直线与半径是否垂直导入，结合反证法证明，衔接切线判定方法，以辅助线添加为支架，帮助学生构建从判定到性质的知识脉络。 其亮点在于用反证法培养数学思维，例题中连半径构造直角三角形体现几何直观，小结结构化梳理性质及辅助线方法。学生能提升推理与应用能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

知识回顾 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线; 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d O O 证明切线时常用的辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课时导入 动脑筋 如图，如果直线 l 是☉O 的切线，A 为切点，那么切线 l 和半径 OA 垂直吗？ A l O 我用量角器量得切线 l 与半径OA所成的角为 90°，即切线 l 与半径 OA 垂直. 下面我们用反证法来证明这个结论. 假设 l 与半径 OA 不垂直， 则过圆心 O 作 OM ⊥ l 于点 M， 由于垂线段最短，可得 OM ＜ OA， 即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径， ∴ 直线 l 与☉O 相交， 这与已知“ l 是☉O 的切线”矛盾， ∴ 假设不成立，即 l ⊥OA. M A l O 知识讲解 A l O 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． 直线 l 是☉O 的切线 A 是切点 直线 l ⊥ OA 切线的性质定理的推论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 例 1 如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D. 求证：AC 平分 ∠DAB. 证明：连接 OC，如图. ∴OC⊥CD. 又∵ AD⊥CD， ∴ OC // AD，∴ ∠ACO = ∠CAD. ∵ OC = OA， ∴ ∠CAO = ∠ACO. ∴ ∠CAD = ∠CAO， 故 AC 平分∠DAB. ∵CD 是☉O 的切线， A B O C D 利用切线的性质解题时，往往需要添加辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. A B O C D 知识讲解 l1 O B A l2 证明：经过直径两端点的切线互相平行. 已知：如图，AB 是☉O 的直径，l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线. 求证：l1 // l2. 证明：∵OA 是☉O 的半径，l1 是过点 A 的切线， ∴ l1 ⊥ OA. 同理 l2⊥ OB， ∴ l1 ⊥ AB，且 l2⊥ AB. ∴ l1 // l2 . 例 2 随 堂 小 测 1.如图，AB 是☉O 的直径，BC 与☉O 相切于点 B，AC 交☉O 于点 D，若 ∠ACB = 50°，则 ∠BOD 等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．80° D 解：∵BC是☉O的切线，∴∠ABC = 90°， ∴∠A = 90°-∠ACB = 90°-50°= 40°. 由圆周角定理，得∠BOD = 2∠A = 80°. 2.如图，AB 是☉O 的直径，MN 是☉O的切线，切点为N，如果∠MNB = 52°，那么 ∠NOA 的度数为( ) A A．76° B．56° C．54° D．52° 解：∵ MN 是☉O 的切线， ∴ ON⊥NM，∴ ∠ONM = 90°， ∴ ∠ONB = 90°-∠MNB = 90°-52°= 38°. ∵ ON = OB， ∴ ∠B = ∠ONB = 38°， ∴ ∠NOA = 2∠B = 76°． 有切线，用性质 3.如图，AB 是☉O 的直径，CD 是☉O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交于点 C，∠A = 30°，给出下面三个结论： ① AD = CD；② BD = BC；③ AB = 2BC. 其中正确结论的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 A 4.如图，AB 与☉O 切于点 C，OA=OB，若☉O 的半径为 8 cm，AB = 10 cm，则 OA 的长为 cm. 5.如图，在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3，☉O 的半径为1，点 P是 AB 边上的动点，过点 P 作☉O 的一条切线 PQ (点 Q 为切点)，则切线 PQ 的最小值为 . 解：如图，连接 OP，OQ． ∵ PQ 是☉O 的切线，∴ OQ⊥PQ. ∵ PQ2 = OP2 - OQ2， ∴ 当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短. ∵ 在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3， ∴ AB = OA = 6，∴ OP = 3， ∴ PQ = = 2． 6.如图，☉O 切 PB 于点 B，PB = 4，PA = 2，求☉O 的半径. O P B A 解：连接 OB，则 ∠OBP = 90°. 设☉O 的半径为 r，则 OA = OB = r，OP = OA + PA = 2 + r. 在 Rt△OBP 中， OB2 + PB2 = PO2， 解得 r = 3， 即☉O 的半径为 3. 即r2 + 42 = (2 + r)2. 7.如图，四边形 OABC 是平行四边形，以点 O 为圆心，OC 为半径的☉O 与 AB 相切于点 B，与 AO 相交于点 D，AO 的延长线交☉O 于点 E，连接 EB 交 OC 于点 F，求 ∠C 和 ∠E 的度数． 解：如图，连接 OB. ∵☉O 与 AB 相切于点 B，∴ OB⊥AB. ∵四边形 ABCO 为平行四边形， ∴ AB//OC，OA//BC，∴ OB⊥OC，∴ ∠BOC=90°. ∵ OB=OC，∴ △OCB 为等腰直角三角形，∴ ∠C = ∠OBC = 45°. ∵ AO//BC，∴ ∠AOB = ∠OBC = 45°，∴ ∠E = 22.5°． 8.如图，AB 是☉O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交☉O 于点 D，DE 是☉O 的切线，交 AC 的延长线于点 E. 求证：DE⊥AC. 证明：如图，连接 OD. ∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，∴ ∠EAD = ∠DAO. 又∵ OA=OD，∴ ∠DAO = ∠ODA. ∴ ∠ODA = ∠EAD，∴ OD//AC. 又∵ DE 是☉O 的切线，∴ ∠ODE = 90°， ∴ ∠E=90°，即 DE⊥AC. 9.如图，PA 为☉O 的切线，A 为切点．直线 PO 与☉O 交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC. (1)求证：△ACB ≌ △APO； (2)若 AP = ，求☉O 的半径． O A B P C (1)求证：△ACB ≌ △APO； 在 △ACB 和 △APO 中， ∠BAC = ∠OAP，AB = AO，∠ABO = ∠AOB， ∴ △ACB ≌ △APO. (1)证明：∵ PA 为☉O 的切线，A 为切点， 又∵ ∠P = 30°，∴ ∠AOB = 60°， 又∵ OA = OB，∴ △AOB 为等边三角形， ∴ AB = AO，∠ABO = 60°. 又∵ BC 为☉O 的直径，∴ ∠BAC = 90°. ∴ ∠OAP = 90°. O A B P C (2)若AP = ，求☉O 的半径． ∴ AO = 1， ∴ CB = OP = 2， ∴ OB = 1，即☉O 的半径为 1. (2)解：在 Rt△AOP 中，∠P = 30°，AP = ， O A B P C 小结 切线的 性质 有1个公共点 d=r 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线的添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 性质定理 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$