九下 2.5.2 第1课时 切线的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离、相切、相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 相离：d>r 相切：d=r 相交：d<r 0个：相离 1个：相切 2个：相交 d>r：相离 d=r：相切 d<r：相交 相离：0个 相切：1个 相交：2个 课时导入 观察 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中，我们常常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？ 探究 如图，OA 是☉O 的半径，经过 OA 的外端点 A，作一条直线 l ⊥ OA，圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和☉O 有怎样的位置关系？ l 圆心 O 到直线 l 的 距离等于半径 OA. 由圆的切线定义可知直线 l 与☉O 相切. l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA 为☉O 的半径 BC ⊥ OA 于 A BC 为☉O 的切线 A B C 切线的判定定理 O 知识讲解 ！在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 用三角尺过圆上一点画圆的切线. (2) 过点 P 沿着三角尺的另一条直角边画直线 l， 则 l 就是所要画的切线.如图. 已知☉O 上一点 P，过点 P 画☉O 的切线． 画法：(1) 连接 OP，将三角尺的直角顶点放在点 P 处， 并使一直角边与半径 OP 重合； 为什么画出来的直线l 是☉O 的切线呢？ 做一做 例 如图，已知 AD 是☉O 的直径，直线 BC 经过点 D，并且 AB = AC ，∠BAD =∠CAD. 求证：直线 BC 是☉O 的切线. D 证明：∵ AB = AC，∠BAD = ∠CAD， ∴ AD ⊥ BC. 又∵ OD 是☉O 的半径，且 BC 经过点 D， ∴ 直线 BC 是☉O 的切线. (1)已明确直线和圆有公共点，连接圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径，证垂直”； (2)不明确直线和圆有无公共点，先过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直，证半径”. 证明切线时辅助线的添加方法 图1 图2 知识讲解 随 堂 小 测 状元成才 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( ) × × √ √ √ 2. 如图所示，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13，AP = 12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 . A P O 相切 3.如图，AB是☉O的直径，∠B=∠CAD. 求证：AC是☉O的切线. 证明：∵AB是☉O 的直径， ∴∠BDA=90°， ∴∠B+∠BAD=90°. 又∵∠B=∠CAD， ∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°. ∵AC 过点 A，∴ AC 是 ☉O 的切线. 4.如图，点 D 在☉O的直径 AB 的延长线上，点 C 在☉O 上，AC=CD，∠D = 30°. 求证：CD 是☉O 的切线. 解：如图，连接 OC. ∵AC = CD，∠D = 30°，∴∠A = ∠D = 30°. ∵OA = OC， ∴∠ACO =∠A = 30°，∴∠COD = 60°， ∴∠OCD = 90°，即 OC⊥CD， ∴CD 是 ☉O 的切线. 点在圆上，连半径，证垂直 5.如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与☉O 相切于点 D. 求证：AC 是☉O 的切线. 证明：如图，作OE⊥AC于E，连接OD， . O A D B C 无切点，作垂直，证半径， E ∴∠OEC = 90°. ∵AB是☉O的切线，∴OD⊥AB. ∴∠ODB = 90°= ∠OEC. ∵AB = AC，∴∠B = ∠C. ∵O是BC的中点，∴OB = OC . ∴△OBD ≌ △OCE(AAS)，∴OD = OE，∴AC与☉O相切. 小结 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线; 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d O O 证明切线时常用的辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$