九下 2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 1.顶点在圆心的角叫作圆心角. 在同圆或等圆中， 2.弧、弦与圆心角的关系定理及推论： 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 课时导入 C A E D B 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 C 对球门 AE 的张角( ∠ACE )有关. 问题 图中的∠ABE、∠ACE 和 ∠ADE 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 知识讲解 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. (如 ∠BAC ) 我们把 ∠BAC 叫作 所对圆周角， 叫作圆周角 ∠BAC 所对的弧. 活学活用 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 下列各图中的 ∠BAC 是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 图中的∠ABE、∠ACE 和∠ADE 都是 所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？ 探究 为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系. 我们猜测也相等 问题1 如图，点 A，B，C 是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角? 圆心角：∠BOC 圆周角：∠BAC 问题2 分别量出这些角的度数，你有什么发现？ ∠BOC = 2∠BAC 问题3 变动点 A 的位置，看看上述结论是否依然成立？ A A A 变动点 A 的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半. 下面我们来证明上述结论： 已知：在圆 O 中，弧 BC 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是 ∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BOC. 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在∠BAC 的一边上 圆心 O 在∠BAC 的外部 圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. 圆心 O 在∠BAC 的一边上(特殊情形) OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C O A B D O A C D O A B C D 圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 圆心 O 在∠BAC 的外部 知识讲解 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 动脑筋 如图，∠A、∠A1、∠A2 和 ∠A3 都是弧 BC 所对的圆周角，那么它们相等吗？ 连接OB，OC. 因为∠A、∠A1、∠A2 和∠A3所对弧上的圆心角均为 ∠BOC， 由圆周角定理可知 ∠A = ∠A1 = ∠A2 = ∠A3. A1 A2 A3 知识讲解 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 如图，OA，OB，OC 都是☉O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC=70°. 求 ∠ACB 和 ∠BAC 的度数. B C O . A ∴∠ACB =∠AOB = 25°， 同理 ∠BAC =∠BOC = 35°. 解：∵圆心角 ∠AOB 与圆周角 ∠ACB 所对的弧为 ， 例 随 堂 小 测 1. 判断下列各图形中的角是不是圆周角. 图1 图2 图3 图4 图5 2. 指出图中的圆周角. A O B C ∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABC × × √ × × 圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角. 3.如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能 是圆心的是(　　) C 4.如图，A，B，C，D是☉O上的点，则图中与∠A相等的 角是(　　) A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D D A.45° B.60° C.75° D.85° 解：连接AO，BO. 5.如图， A，B，C，D是☉O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是( ) ( D ∴∠AOB=2∠BDC=80°， 又M是OD上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°， 则不符合条件的只有85°． ∵B是AC的中点， ( 6.如图，点 A，B，C，D，E 均在 ☉O 上，∠BAC＝15°， ∠CED＝30°，则∠BOD的度数为(　　) A.45° B.60° C.75° D.90° D 7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C在半圆上，点 A，B 的读数分别为100°，150°，则 ∠ACB 的度数为_____°． 25 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 8. 如图，分别求出图中∠x 的大小. 解：(1)∵同弧所对圆周角相等， ∴∠x = 60°. (2)连接BF. ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°. ∴∠x =∠ABF+∠FBC = 50°. F 60° x 30° 20° x A D B E C 9.如图，在☉O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M， 交CD于点N，连接AD. 求证：AD＝AN. 小结 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定 理的推论1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 证明：∵∠ADC与∠ABC都是所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC. ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠CEB＝∠AMC＝90°. ∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C. ∴∠ABC＝∠CNM.又∠CNM＝∠AND. ∴∠ABC＝∠AND. ∴∠ADC＝∠AND.∴AD＝AN. $$