九下 1.5 二次函数的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

课时导入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能解决这个问题吗？ 动脑筋 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能解决上述问题吗？ 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 . x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 米， 因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出-2=a·2²，解得a=-. x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定 a 的值？ 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 4.6 m 时，x=2.3， 从而y=-×2.3²=-2.645， 因此拱顶离水面高 2.645 m. 你能求出水面宽 4.6 m时，拱顶离水面高多少吗？ 知识讲解 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 动脑筋 如图，用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问：窗框的高与宽各为多少时，窗框的透光面积 S (m2) 最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计) x 解：设矩形窗框的宽为x m，则窗框的高为 m. 这里应有 x ＞ 0， ， 故 0 ＜ x ＜ . 矩形窗框的透光面积 S 与 x 之间的函数关系式是： 即 配方得 所以，当 x = 时，函数取得最大值，最大值 S = . 因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为 2 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. x = 满足 0 ＜ x ＜ ，这时 知识讲解 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数表达式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 例 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 解：① 每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每月利润(元) 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 -10x y = (10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式 y = (10+x)(180 -10x)， 即：y = -10x2 + 80x + 1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 -10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时，y 取最大值 1960 元. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 求解最大利润问题的一般步骤 知识讲解 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或 “总利润=单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数图象的简图，利用简图和性质求解. 随 堂 小 测 D 1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m 时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. m C. m D. m 2.某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) A.50 m B.100 m C.160 m D.200 m C 3.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A 4.在一个腰长为 10 cm 的等腰直角三角形的内部截一个 矩形 ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩 形 ABCD 面积的最大值是 . 25 cm2 解：∵三角形AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE=10 cm，∠E=∠F=45°. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°， ∴∠ECD=45°，∴ED=CD. 设AD=x cm，矩形面积为y cm2， ∴ED=CD=(10-x)cm， y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25， ∴当x=5时，y取最大值为25． 5.进价为 80 元的某件衬衣定价为 100 元时，每月可卖出 2 000 件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .每月利润 w (元)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简). y=2 000-5(x-100) w=[2 000-5(x-100)](x-80) 6. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数表达式为 y = -x²+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 7.已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 8.某种文化衫以每件盈利 20 元的价格出售，每天可售出 40 件. 若每件降价 1 元，则每天可多售 10 件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多. 9.某幢建筑物，从 10 米高的窗户 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点 M 离墙 1 米，离地面 米，求水流落地点 B 离墙的距离. 小结 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 (实物型抛物线问题) 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. 小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$