九下 1.4 二次函数与一元二次方程的联系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 1.(1) 一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 x＋2＝0 的根为________. (2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 －3x＋6＝0 的根为_______. 问题 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？ 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kx＋b＝0 的根. －2 0 －2 2 0 2 2.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式Δ的关系. Δ =b2 - 4ac > 0 时 Δ =b2 - 4ac = 0 时 Δ =b2 - 4ac < 0 时 ∆ =b2 - 4ac ≥ 0 时 方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根. 方程无实数根. 方程有两个实数根. a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 探究 问题1 画出二次函数y=2x²-2x-3的图象： 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ (-1，0) 与 (3，0) 课时导入 问题2 二次函数 y = x2-2x-3 与一元二次方程 x2-2x-3 = 0有怎样的关系？ 当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根； 同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x = 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根. 知识讲解 一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程 ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2. 动脑筋 观察图象，完成下表： 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－2x＋2 抛物线与 x 轴交点个数 交点的 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－2x＋2 y = x2－6x＋9 0个 2个重合的点 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 知识讲解 例1 求一元二次方程x²-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1). 分析：一元二次方程x² -2x-1=0的根就是抛物线y = x² -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：设二次函数y=x² -2x-1. 作出二次函数y=x² -2x-1的图象(如图)，可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间，另一个交点在2与3之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x² -2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4. 我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2 - 2x -1 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.4 或 x = -0.5 都符合要求.但当 x = -0.4 时更为接近 0. 故 x1 ≈ -0.4. 同理可得另一近似值为 x2 ≈ 2.4. 知识讲解 利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤： 1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象； 2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标； 3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解. 当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解： ①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围. ②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数m和n(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如下：取m和n的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为m和n时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值； 若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和 n 之间，再取和n的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. ③按照①②的方法估计出方程的另一个根. 例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y=-+x+运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度. (1) 当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：(1) 由抛物线的表达式得 ， 即 ，解得 即当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m. (2)铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？ (2)由抛物线的表达式得 ， 即 ，解得 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m. (3) 由抛物线的表达式得 ， 即 . 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3 m. (3) 铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 随 堂 小 测 1.二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　) A．k＜3 B．k＜3 且 k≠0 C．k≤3 D．k≤3 且 k≠0 D 2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过(﹣3，0)与(1，0)两点， 关于x的方程ax2+bx+c+m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是3， 则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个 整数根是(　　) A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4 B 3.若二次函数y = ax2 + b的图象经过点(-2，0)，则关于 x 的方程a( x - 2)2 + b = 0的实数根为 (　　) A．x1 = 0，x2 = 4 B．x1 = -2，x2 = 6 C．x1 = ，x2 = D．x1 = -4，x2 = 0 A 判断方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解 x 的范围是( ) A. 3＜ x ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x ＜ 3.24 C. 3.24 ＜ x ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x ＜ 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 4. 根据下列表格的对应值: C 5.若抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)经过第四象限的点(1，﹣1)，则 关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是(　 ) A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根 C 6.抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 . (-2，4)，(3，4) (0，-2) 7. 已知二次函数y=x²-6x+8的图象，利用图象回答问题： (1)方程x²-6x+8=0的解是什么？ (2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？ (3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？ 解：(1) x1=2，x2=4； (2) x＜2 或 x＞4； (3) 2＜ x ＜4. x y O 2 4 8 6.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点． 设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k， 将点 A、B 的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4. 将点 C 的坐标代入上式，得左边＝3， 右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边， 即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中； (2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？ (2) 将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功． 小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠ 0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 判别式 的符号 小结 二次函数与一元二次方程 一元二次方程 二次函数 一元二次方程的根 与x轴交点情况 y=0 解方程 图象 由“数” 到“形” 由“形” 到“数” 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$