1.4　二次函数与一元二次方程的联系　教学设计　　2023-—2024学年湘教版 数学九年级下册

   课题：1.4 二次函数与一元二次方程的联系

教学目标

1.能从函数（数与形）角度理解一元二次方程，构建发展互相联系的知识体系；

2.理解一元二次方程根的情况与抛物线y=和直线交点情况之间的联系，能够应用二次函数图像解决有关一元二次方程根的问题；

3.通过二次函数与一元二次方程之间关系的探究，使学生体会数形结合思想，激发学习数学的兴趣。

【重难点】正确理解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程的根的关系.

教学流程及教学内容

教学行为提示及方法指导

一、目标导学

问题1：你如何看待等式？你能求出值吗？

生：方程角度，这是一个一元一次方程，

生：函数解析式上来看，可以看成一次函数，当时，对应自变量的值。（数）

生：函数图像来看，直线与轴的交点横坐标。（形）

生：把等式变形成,可以看成一次函数，当时，对应自变量的值。（数）

生：从函数图像来看也可以看成直线与直线的交点横坐标。（形）

师总结；

二、新知探究

（一）自学自研

问题2：你能借助已有经验说说如何看待等式？并求出的值吗？

答1：从方程角度来看，这是一个一元二次方程，可以解得

答2：从函数来看是，当时，对应的自变量，为。（数）

答3：从函数图像来看，可以看成抛物线与轴的交点的横坐标。从而解得。（形）

答4：也可以看成二次函数，当时，对应自变量的值。（数）

答5：也可以看成直线与直线的交点横坐标。（形）

答6：可以看成直线与直线的交点横坐标。（形）

专题一 二次函数与轴有交点与一元二次方程根之间的关系

师：刚刚我们也是从函数的观点去看一元二次方程，无论哪一种方法去看，他们都与同一个一元二次方程有关联。

结论1    若一元二次方程的两个根是，则抛物线与轴的两个交点坐标分别是A（    ,     ），B（    ,     ）。

结论2  抛物线（）与轴的交点的横坐标是一元二次方程的根。

结论3  抛物线y=（）与轴的交点的数量是一元二次方程的根的个数。

专题二 抛物线与直线的交点与一元二次方程的根的关系

请你尝试给二次函数的函数值取不同实数时，自变量的取值有何变化。（有难度。合作探究）

生：取，则，这就变成了一元二次方程，

方程可化为：

（1）当,即时，方程有两个相等的实数根。

（2）当,即时，方程有两个不相等的实数根。

（比如取时，方程，。）

（3）当,即时，方程无实数根。

（比如取时，方程， 此方程无解）

师：还有别的做法吗？

生：用配方法求出函数最小值为,此时，对应有一个自变量取值；

当函数值,此时，对应有两个自变量取值；

当函数值,此时，无对应自变量。