九下 1.2 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 确定其对称轴 x=1，顶点坐标为( 1，0). 列表：x 从顶点横坐标 1 开始取值. 描点并连线：先画出对称轴右边的部分. 再根据对称性另一部分即得图象. 如何画二次函数 y = (x-1)2 的图象. 课时导入 我们已经知道形如 y = a(x-h)2+k 的二次函数的图象的画法，可在生活和学习中，很多二次函数是用一般形式 y=ax2+bx+c 表示的，如图. y = ax2+bx+c 用一般式表示 ？根据一般式画图象 动脑筋 如何画出y=-2x²+6x-1的图象呢? 我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象，因此，只需要把y=-2x²+6x-1配方成y=-2(x-h)²+k的形式就可以了. 将一般式 y = ax2+bx+c 化成顶点式 y =a(x-h)2+k. x 2 3 ... y=-2(x-)²+ 3 -1 - ... 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了函数y=-2x²+6x-1的图象. 如图. 说一说 观察上图，当x等于多少时，函数y=-2x²+6x-1的值最大？这个最大值是多少？ 知识讲解 一般地，有如下结论： 二次函数y=ax²+bx+c，当 x 等于顶点的横坐标时，达到最大值（a＜0）或最小值（a＞0），这个最大（小）值等于顶点的纵坐标. 例 解： 配方： 顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1. 知识讲解 一般地，对于二次函数 y =ax2+bx+c 进行配方： 顶点坐标是 因此，当 时，函数达到最大值（a＜0）或最小值（a＞0）： . 小结 随 堂 小 测 1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y=－3x2+12x－3；（2）y=4x2－24x+26； （3）y=2x2+8x－6； （4）y=12x2－48x+45.   开口向上， 对称轴为x=3， 顶点为(3，-10). 开口向下， 对称轴为x=2， 顶点为(2，9). 开口向上， 对称轴为x=-2 顶点为(-2，-14). 开口向上， 对称轴为x=2， 顶点为(2，-3). 2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的表达式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 A 3.已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 C D 4.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 5.二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是(　　) A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0 C 6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D 解：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 故选D. 知识讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧； a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点； c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时， ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小. 7.已知二次函数y＝－x2＋6x－5. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2) 当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 解：（1）∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3，4)． （2）∵a＝－1＜0，∴图象开口向下． ∵顶点坐标为(3，4)，∴当x＝3时，y取最大值4， ∵当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y取最小值0. ∵当3＜x≤4时，y随x的增大而减小， ∴当x＝4时，y取最小值3. ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0. 小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 最值： 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$