九下 1.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 确定其对称轴 x=1，顶点坐标为( 1，0). 列表：x 从顶点横坐标 1 开始取值. 描点并连线：先画出对称轴右边的部分. 再根据对称性另一部分即得图象. 如何画二次函数 y = (x-1)2 的图象. 课时导入 探究：如何画二次函数 y = (x-1)2+3 的图象？ 要解决这个问题，我们首先需要探究二次函数 与 的关系. 对于每一个给定的 x 值，下面的函数值都比上面的大 3. 横坐标 a a 二次函数 图象上的点 纵坐标 的图象可由 的图象向上平移 3 个单位得到. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观察 的图象，说说它有哪些特征. 顶点为(1，3) 对称轴为直线 x=1 开口向上的抛物线 我们已经知道了二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象的性质，那么你猜想一下如何画出它的图象？ 第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表(自变量 x 从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点). 例1 画二次函数 的图象. 解：对称轴是直线 x = －1，顶点坐标为 (－1，－3). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 －1开始取值. x －1 0 1 2 3 ... －3 －2.5 －1 1.5 5 ... x O y 2 4 －2 －4 2 4 －2 －4 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数 的图象，如右图. 知识讲解 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质 y = a(x-h)2+k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h （h，k） （h，k） 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 例2 已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y轴相交于点(0，-4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 解：由于点(-2，1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)²+1. y=a(x-h)2+k y=ax2 平移关系 二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象： 这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？ ？ 结论： h<0，将抛物线y=ax2向左平移， h>0，将抛物线y=ax2向右平移； k>0，将抛物线y=ax2向上平移； k<0，将抛物线y=ax2向下平移， y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k y=a(x-h)2+k y=ax2 平移关系 可概括为：左加右减，上加下减. ？ 随 堂 小 测 1.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. （1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1； （3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3. 开口向上 对称轴为x=-2 顶点坐标为(-2，1) 开口向下 对称轴为x=2 顶点坐标为(2，-1) 开口向上 对称轴为x=4 顶点坐标为(4，3) 开口向下 对称轴为x=-2 顶点坐标为(-2，-3) 2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. y=3(x-2)2-1 B. y=3(x-2)2+1 C. y=3(x+2)2-1 D. y=3(x+2)2+1 C 3.抛物线 y = 2x2 不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位，则在新坐标系下，此抛物线的表达式为__________________． y = 2(x-3)2-3 4.若抛物线的顶点为(3，5) ,则此抛物线的表达式可设为( ) A. y=a(x+3)2+5 B. y=a(x-3)2+5 C. y=a(x-3)2-5 D. y=a(x+3)2-5 B 5.设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8. (　　) A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0 C 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点 A ，B ，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的横坐标为1. 求该二次函数的表达式. 7.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x－h)2＋k. 所得抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D. (1) 求 h，k 的值； (2) 判断△ACD的形状，并说明理由． 解：(1)∵将抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4； (2) △ACD 为直角三角形．理由如下： 由 (1) 得 y＝(x＋1)2－4. 当 y＝0 时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3 或 x＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 当 x＝0 时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3， ∴C点坐标为 (0，－3)． 顶点坐标为D (－1，－4)． 作出抛物线的对称轴 x＝－1交 x 轴于点 E，过 D 作 DF⊥y 轴于点 F，如图所示． 在 Rt△AED 中，AD2 ＝ 22＋42 ＝ 20； 在 Rt△AOC 中，AC2 ＝ 32＋32 ＝ 18； 在 Rt△CFD 中，CD2 ＝ 12＋12 ＝ 2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形． 小结 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 小结 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x-h)2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a > 0，开口向上；当 a < 0，开口向下.对称轴是 x = h, 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 解：设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2－3(a≠0)． 由题意知A(1，0)，把A(1，0)的坐标代入， 得0＝a(1－4)2－3，解得a＝. ∴该二次函数的表达式为y＝(x－4)2－3. $$