九上 4.4 第2课时 坡度问题、方位角问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心讲解坡度（坡角、坡度i=h/l=tanα）与方位角问题。通过“山脚到山顶两条路哪条陡”的观察思考导入，衔接锐角三角函数知识，搭建从实际情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于以生活实例激发探究欲（数学眼光），典例精析（如水库大坝、海轮航行）引导将实际图形抽象为直角三角形求解（数学思维），小结结构化呈现知识框架（数学语言）。助力学生发展几何直观与应用意识，教师可直接利用其清晰流程提升教学效率。

第4章 锐角三角函数 4.4 　解直角三角形的应用 第2课时 坡度问题、方位角问题 1 新课导入 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ 观察与思考 C 知识讲解 知识点1 坡角问题 如图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表示，即i=（坡度通常写成1∶m的形式）. 　　在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作 α，显然，坡度等于坡角的正切，即i==tan α. 坡度越大，山坡越陡． 1. 斜坡的坡度是1∶ ，则坡角 α =___度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 典例精析 例1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 解：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB. 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米． 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可求得 α ≈ 22°. 故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 例2：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)； A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1 : 3 解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F . 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中， (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1 m). E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在 Rt△DCF 中， 故坝底 AD 的长度为132.5 m，斜坡 AB 的长度为 72.7 m. E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 知识点2 解与方位角有关的问题 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 例 3：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile． 例4 ：如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 随 堂 小 测 1. 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是1 :，坝高BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9 m B. 6 m C. 6m D. 3 m A C B B 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °． 90 3. 如图，海上 B，C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向，一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43° 方向，则 A，B 两岛之间的距离为 ．(结果精确到 0.1 海里，参考数据： sin43° = 0.68，cos43° = 0.73，tan43° = 0.93) 33.5 海里 4. 如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？ 解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E. ∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上， 在点 D 的北偏东 30° 方向上， ∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°. ∴∠BAD = ∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE. ∴ AD = BD = 1200 米. ∴ AE = AD·sin60° = 1200×≈ 1039.2＞800（米）. ∴不会遭到破坏. 小结 解直角三角形的应用 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比) i= 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$