九上 4.3 解直角三角形 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第4章 锐角三角函数 4.3 　解直角三角形 1 学习目标 1.会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形. 2.通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力. 复习回顾 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们 经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.对于这类问题， 我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决. 说一说 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. （1）直角三角形的三边之间有什么关系？ （2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ A B C a b c a2+b2=c2（勾股定理）, ∠A+∠B=90°. sin A=， cos A==， tan A=. 议一议 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道 其中的几个元素就可以求出其余的元素？ 已知两个角？ × 已知2个元素，且至少有1个是边就可以了. 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道 其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 知识讲解 知识点1 已知两边解直角三角形 在图中的 Rt△ABC 中， (1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° (2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 典例精析 A B C 解： 例1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC =，BC= ，解这个直角三角形. 知识点2 已知一边及一个锐角解直角三角形 例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A B C b = 20 c a 35° 解： 知识点3 已知一锐角三角函数值解直角三角形 例 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA =，BC = 5， 试求 AB 的长. A C B 解： 设 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例 4：在△ABC 中，AB =12，AC = 13，cosB =，求 BC 的长. 解：∵cosB = ，∴∠B = 45°. 当△ABC 为钝角三角形时，如图①. ∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5. ∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7. 图① 知识点4 解直角三角形中的分类讨论问题 当△ABC 为锐角三角形时，如图②， 此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17. 综上可知，BC 的长为 7 或 17. 图② 随 堂 小 测 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b = a · tan A B. b = c · sin A C. b = c · cos A D. a = c · cos A C 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( ) D A C B  3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32，则 AC = ( 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75 ). 24 4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为 . 3.75 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分线AD=4，解这个直角三角形. 解： ∵ AD 平分∠BAC， D A B C 6 小结 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$