九上 4.1 第3课时 余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第4章 锐角三角函数 4.1 　正弦和余弦 第3课时 余弦 1 学习目标 1.会利用相似直角三角形探索并认识余弦的定义. 2.会求特殊角30°，45°，60°的余弦值并熟记这些值. 3.会用计算器求锐角的余弦值以及根据余弦值求对应锐角. 新知导入 如下图所示， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D =α，∠C =∠F = 90°，则=成立吗？为什么？ 知识讲解 知识点1 余弦 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A=∠D=α，∠C=∠F= 90°， ∴∠B=∠E. 从而sin B=sin E, 因此=. 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦， 记作cos α， 这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角（90°-α）的对边与斜边的比值． 根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有 定义 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α， 有 cosα=sin (90°-α)， 从而有 sinα=cos (90°-α). 解:cos 30°=sin（90°-30°）=sin 60°， cos 45°=sin（90°-45°）=sin 45°， cos 60°=sin（90°-60°）=sin 45°. 典例精析 例1 cos 30°，cos 45°，cos 60°. 例2 计算：cos 30°-cos 60°+cos245°. 解：原式 =-×+× =. 例3 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=,则AC和BC的长是多少？并求sinA的值. 解: AC 和BC 的长分别是6, sinA的值为 . 知识点2 用计算器求锐角的余弦或根据余弦值求锐角 对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可以用计算器来求. 例如求50°角的余弦值，可在计算器上依次按键 ，显示结果为 0.6427…. 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知 cosα = 0.8661，依次按键 ，显示结果为29.9914…，表示角α约等于30°. 随 堂 小 测 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A.msin35° B.mcos 35° C. D. A A B C 2. 随着锐角 α 的增大，cos α 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 B 当 0°＜α＜90° 时，cos α 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大) 3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 4.已知∠A，∠B 为锐角, (1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B； (2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B. = = 5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝. (1)求点 B 的坐标； (2)求 cos∠BAO 的值． A B H 解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝， ∴BH＝3，OH＝4， ∴点 B 的坐标为(4，3)． 5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝. (2)求 cos∠BAO 的值． (2)∵ OA＝10，OH＝4，∴ AH＝6． ∵在 Rt△AHB 中，BH＝3， A B H 小结 余弦 余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦 余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关 用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$