九上 4.1 第1课时 正弦 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第4章 锐角三角函数 4.1 　正弦和余弦 第1课时 正弦 1 学习目标 1.利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A）的定义. 2.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值. 新课导入 北 东 30º A B C 问题1：小李驾驶“开心号”帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行1000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西30º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？ 1000m 分析：由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90°，∠A= 65°，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？ 北 东 思考：在直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值有什么规律？ 65º A B C 问题2：小李驾驶“开心号”帆船向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m） 2000m 知识讲解 知识点 正弦 做一做：每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算： 的值（精确到0.01） 结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91． 与同桌和邻桌的同学交流，你能发现什么？ 猜想：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数吗？ 证明：∵ ∠C=∠F=90°，∠A=∠D， ∴ △ABC ∽ △DEF. 已知：任意两个直角三角形△ABC 和△DEF，∠C=∠F = 90º，∠A =∠D. E F D B C A 验证猜想 结论：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数. 解决问题：现在解决第2题中，帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题． 解：在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65º， 解得 答：C 处和灯塔A的距离约等于2200米. 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sin α, 即sin α=. B C A a (1)sinA 不是一个角 (2)sinA 不是sin与A的乘积 (3)sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位 例1.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 典例精析 例2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.于是 AC = 4.因此sin B==. 例3： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 解：(1)∠A 的对边BC = 3，斜边AB = 5，于是sin A==. 例4：如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 例5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A=，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积. 解：∵∠C = 90°， ∴ ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 随 堂 小 测 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2． ∴ ∠ACB＝90°． ∴ sin∠ABC＝ 3. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =，求△ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sin A = ， ∴ 又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6， ∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12. 小结 正弦的概念 正弦 正弦的应用 ∠A的对边 斜边 sin A = 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$