九上 3.4.1 第2课时 相似三角形的判定定理1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第3章 图形的相似 3.4 　相似三角形的判定 3.4.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1 1 学习目标 1.了解相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 2.会运用相似三角形的判定定理1判定两个三角形相似. 类比引入 相似多边形 各角分别相等、各边成比例 相似三角形 三角分别相等、三边成比例 可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 可以类比全等三角形. 全等三角形 全等三角形 对应边相等，对应角相等 一个条件 两个条件 三个条件 SSS ASA AAS SAS 复习回顾 知识讲解 知识点 相似三角形的判定定理1 ∽ △ABC △A'B'C' ∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C ' 需要6个条件吗？ ∽ △ABC △A'B'C' ∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C ' 需要6个条件吗？ 角相等 边成比例 2个 2个 + 4个 至少需要几个条件呢？ 分类讨论 想一想 一个条件 ①一个角相等 ②两边成比例 只有一个角相等， 两个三角形相似吗？ A B C A' B' C' A B C A' B' C' 反例： 反例： 想一想 两个条件 有哪几种情况呢？ ∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C ' 角相等 边成比例 两个条件 ① 一对角相等 一对角相等 ＋ ＝ 两角分别相等 ② 一对角相等 两边成比例 ＋ ＝ 两边成比例且一对角相等 ③ 两边成比例 两边成比例 ＋ ＝ 三边成比例 a.两边成比例且夹角相等 b.两边成比例且其中一边的对角相等 两个条件 ① 一对角相等 ＋ ＝ 两角分别相等 一对角相等 做一做 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β； 那么三边的比 相等吗？ 这样的两个三角形相似吗？ 判定定理 1 两角分别相等的两个三角形相似. 在△ABC和△A'B'C'中， 如果∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'， 那么△ABC∽△A'B'C'. A B C A' C' B' 数学语言： 典例精析 例1：如图，D，E分别是△ABC 的边AB和AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. 解：∵ DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C. A B C D E ∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. 平行 角相等 △相似 ∴ ∴ 证明：∵∠BAC = ∠1 + ∠DAC，∠DAE = ∠3 + ∠DAC， ∠1 = ∠3， ∴ ∠BAC = ∠DAE. ∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ， ∠E = 180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C = ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 例2： 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 证明：∵∠C = 90°，∴AC⊥BC， ∵DF⊥BC，∴ DF∥AC. ∴ ∠BHF = ∠A ，而∠BHF = ∠DHE， ∴∠DHE = ∠A. 又 DE⊥AB，∴∠DEH = 90° = ∠C. ∴ △DEH∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似）. 例3 ：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别作边 AB，BC 的垂线，垂足分别为点 E，F，DF 与 AB 交于点 H.求证：△DEH∽△BCA． D A C H F B E 证明：∵∠C = 90°，∠F = 90°， ∠A = ∠D， ∴△ABC∽△DEF . ∴ 又 AB = 5，BC = 4，DE = 3， ∴ EF = 2.4. 例4 ：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C = 90°，∠F = 90°. 若∠A = ∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，求 EF 的长． B A C D F E 图a b， 图b 图a 图b 图c 图d a a,b,c) d) 归纳总结 随 堂 小 测 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( ) A. 1 对 　　B. 2 对 C. 3 对 　　D. 4 对 C 2. 如图，在△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C = ∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( ) A. B. C. D. A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC. ACD ACB B ADC 证明：∵ 在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 80°， ∴ ∠C = 180°－∠A－∠B = 60°. ∵ 在 △DEF 中，∠E = 80°，∠F = 60°. ∴ ∠B = ∠E，∠C = ∠F. 　 ∴ △ABC∽△DEF. 4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF. A C B F E D 小结 利用两角判定三角形相似 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 1 的运用 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$