九上 2.5 第2课时 图形面积和动点问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.5 　一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点问题 1 学习目标 1.根据几何问题中的数量关系列出一元二次方程. 2.能运用一元二次方程解决与方案、几何图形面积有关的实际问题. 知识回顾 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 解一元二次方程 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤 实际问题的解 一元二次方程的根 检 验 思考 问题引入 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21cm 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度之比为 : . 9 9 解：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 于是可列出方程 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 动脑筋：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm. 根据题意，有 (40-2x)(28-2x)=364． 解得 x1=27，x2=7． 整理得 x2-34x+189=0. 知识讲解 知识点1 面积问题 如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去． 即所截去的小正方形的边长为7cm. 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例1： 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列法吗？ 方法一： 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 20 32 x 2x 20-x 变式1：在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 变式2：在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 25(舍去)，x2= 1. 变式3：在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？ 32 cm 2x 3x 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m， 于是可列方程 20 cm 32 cm 3x 2x 32−4x (32 − 4x)(20 − 6x) = —×20×32. 4 3 3x 2x 6x 4x 32−4x 20−6x 20−6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 方法点拨 ∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24. 解得 x1= x2= (舍). 答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m. 解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0. 解得 x1 = 5，x2 = 20. 当 x1 = 5，100 - 4x1 = 80 > 25，x = 5 (舍去)； 当 x2 = 20，100 - 4x2 = 20 < 25. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m. 例2： 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？ D C B A 25 m 知识点2 动点问题 例3： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm². 则有 方法点拨 3、在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系, 再运用规则图形的面积公式列出方程; 1、列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、检、答． 2、在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个， 所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 随 堂 小 测 B 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A． x(x－10)＝900 B． x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 C 2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B． x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 ． 2 cm，7 cm 4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 ． 　　 x2＋40x－75＝0 5．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？ 解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m．根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2. 6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米. 列方程,得 （20-x)(32-x)=540， 整理,得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 图2 小结 几何问题 几何问题与一元二次方程 类型 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 动点面积问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 29 $$