九上 2.3 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.3 　一元二次方程根的判别式 1 学习目标 1.理解一元二次方程根的判别式的作用，会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实根是否相等. （重点） 2.经历对判别式符号的讨论，体会分类讨论思想. 新知导入 解下列方程，想想一元二次方程的根有哪几种情况? (1)x²+4x-21=0； (2)x²-6x+9=0； (3)x²-3x+5=0. 一元二次方程的根有3种情况：方程有两个不相等的实数根，如方程(1)；方程有两个相等的实数根，如方程(2)；方程没有实数根，如方程(3). 我们在运用公式法求解一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)时，总是要求b²-4ac≥0.这是为什么？ 将方程ax²+bx+c=0(a≠0)配方后得到 由于a≠0 ，所以4a²＞0，因此我们不难发现： (1)当b²-4ac＞0时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. (2)当b²-4ac=0时， 由于0的平方根是0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. (3)当b²-4ac＜0时， 由于负数在实数范围内没有平方根是0，所以原方程没有实数根. 因此，若方程要有实数根，则b²-4ac必须为非负数. 说明：关于b²-4ac＜0时方程根的情况，我们将在高中阶段学习. 我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“∆”，即∆=b²-4ac. 综上可知，我们不难发现一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由∆=b²-4ac来判断： 知识讲解 知识点1 一元二次方程根的判别式 当∆＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当∆0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当∆＜0时，原方程没有实数根. 例1： 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x²+4x-3=0； (2)4x²=12x-9； (3)7y=5(y²+1). 解： (1)因为∆=b²-4ac=4²-4×3×(-3) =16+36=52＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)4x²=12x-9； 将原方程化为一般式，得 4x²-12x+9=0. 因为 ∆=b²-4ac=(-12)²-4×4×9 =144-144=0， 所以原方程有两个相等的实数根. 要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值. (3)7y=5(y²+1). 将原方程化为一般式，得 5y²-7y+5=0. 因为 ∆=b²-4ac=(-7)²-4×5×5=49-100=-51＜0， 所以原方程没有实数根. 知识点2 一元二次方程根的判别式的应用 例2：已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B. B 归纳总结 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 例3: 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 Δ = b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k > -1 且 k ≠ 0，故选 B. B 例4： 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： 的符号与一元二次方程根的情况的关系 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 的符号 根的情况 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 注意 （1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般式，然后确定a,b,c的值； （2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； （3）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根 随 堂 小 测 1.关于x的一元二次方程3x2－6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3 A 2.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 Ａ 3.一元二次方程2x2-x+1=0根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 C 4. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( 　　 ) B 5.若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是 ． k≤4且k≠0 6.不解方程，判别下列方程根的情况： （1）3x2－5x－1=0；（2）x2－8x+16=0；（3）2x2+3x+4=0. 解：（1）Δ>0，x1≠x2; （2）Δ=0，x1=x2; （3）Δ<0，无解. 7.已知关于x的方程2x2+kx－1=0. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是－1，求另一个根及k的值. 解：(1) Δ=k2+8>0; (2) k=1，x=. 小结 一元二次方程 根的判别式 ax2+bx+c=0（a≠0） 根的判别式=b2-4ac 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 27 $$