九上 2.2.3 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.3 因式分解法 第2课时 选用合适的方法解一元二次方程 1 学习目标 1.会用合适的方法解一元二次方程. （重点） 2.体会解一元二次方程中的转化与降次思想. 复习引入 (2)因式分解有哪些方法？ 1. (1) 因式分解的概念？ ①提公因式法 ②公式法 平方差公式 完全平方公式 ③十字相乘法 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. ma+mb+mc=m（a+b+c） a2-b2=（a+b）（a-b） a22ab+b2=（ab）2 x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？ ①因式分解法 ②直接开平方法 ③公式法 ④配方法 (方程一边是 0，另一边整式容易因式分解) (x + a)2 = C ( C≥0 ) (化方程为一般式) (二次项系数化为 1，再配方) 知识讲解 知识点 灵活选用适当的方法解一元二次方程 [议一议]下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由. （1） （3） 例1 选择合适的方法解下列方程： （1）x2+3x=0； （2）5x2-4x-1=0； （3）x2+2x-3=0. 公式法适用于所有一元二次方程. 因式分解法（有时需要先配方）适用 于所有一元二次方程. 配方法是为了推导出求根 公式，以及先配方，然后用因 式分解法. [说一说] 如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？ 变式：用适当的方法解下列方程： (1) x2-3x+1=0; (2)(x-1)2=3; (3）x2-3x=0； （4）x2-2x=4. x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 一元二次方程的解法及适用类型 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 一元二次方程解法选择基本思路 　　　我们已经学习了用配方法、直接开平方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解． 总结归纳 随 堂 小 测 1.方程 (x - 3)(x + 1) = x - 3 的解是 ( ) A. x = 0 B. x = -3 C. x = 3 或 x = -1 D. x = 3 或 x = 0 解析：方程两边有公因式 (x - 3)，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得 (x - 3)(x + 1) - (x - 3) = 0，所以 (x - 3)(x + 1 - 1) = 0，即 x - 3 = 0 或 x = 0，所以原方程的解为 x = 3，x = 0. 故答案为 D. D 2. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 3. 用因式分解法解下列方程： (1) (x－5) (x－6) ＝ x－5； (2) 4(x －3)2 － 25(x －2)2 ＝0； (3) x2 －( ＋ ) x ＋ ＝0 . 3.解：(1) 移项，得 (x－5) (x－6) －( x－5 )＝0 ， 因式分解，得 (x－5) (x－7) ＝0 . ∴ x－5＝0　或x －7＝0. ∴ x1＝5，x2＝7. 　(2) 原方程可化为[ 2 (x－3) ]2 － [ 5 (x－2) ]2 ＝0， 因式分解， 得[2(x－3)＋5(x－2)] [2(x－3) －5(x－2)]＝0， 即(7x－16) (－3x ＋4) ＝0 ， ∴ 7x－16＝0，或－3x ＋4＝0. ∴ x1＝ ，　x2＝ . （3）原方程可化为 (x－ ) (x－ ) ＝0， ∴ x－ ＝0或x － ＝0. ∴ x1＝ ，x2＝ . 4.选择适当的方法解下列方程. (1)4x2－64＝0； (2)2x2－7x－6＝0； (3)(3x＋2)2－8(3x＋2) ＋15＝0. 4.　解：(1) ∵ 4x2－64＝0， ∴ x2＝16. ∴x1＝4，x2＝－4. (2) ∵a＝2，b＝－7，c＝－6， ∴b2－4ac＝97 > 0， =, = 　　 (3) 因式分解，得[(3x＋2) －3] [(3x＋2)－5]＝0. 即(3x－1) (3x－3) ＝0 . ∴x1＝ ，x2＝1. 5.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程 的两个实数根，求矩形ABCD的对角线长. 解： ，即 ， 解得 ， ， 根据勾股定理，得矩形的对角线长为 答：矩形ABCD的对角线长为5. 小结 因式分解法解题步骤：1. 将方程的右边化为0； 2. 将方程的左边进行因式分解； 3. 令每个因式为0，得到两个一元一次方程. 4. 解一元一次方程，得到方程的解. 因式分解法 用适当的方法解一元二次方程：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因为分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$