九上 2.2.3 第1课时 用因式分解法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.3 因式分解法 第1课时 用因式分解法解一元二次方程 1 学习目标 1.会用因式分解法求解一元二次方程. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点） 复习引入 1. 填空： (1)a²-b²= ； (2)a²+2ab+b²= . (3)a²-2ab+b²= . 2. 说一说：我们学过哪些因式分解的方法？ (a+b)(a-b) (a-b)² (a+b)² 提公因式法：把公因式提到括号外，各项中不同因式的和放到括号内. 公式法：利用平方差公式、完全平方公式因式分解. 3.在横线上写出下面多项式因式分解的结果： (1)4x²+6x= ； (2)x(x-2)-4x+8= ； (3)9x²-4= ； (4)4x²-(x-2)²= . 4.用公式法解下列方程： (1)x²-4x-12=0； (2)x²-8x+9=0. 2x(x+3) (x-2)(x-4) (3x+2)(3x-2) (3x-2)(x+2) （1）x1=6，x2=-2 （2）x1=9，x2=-1 知识讲解 知识点 用因式分解法解一元二次方程 解方程： x²-3x=0. ① 方程①的左边提取公因式x，得x(x-3)=0. 由此得x=0或x-3=0. 即 x₁=0，x₂=3. 若ab=0，则a=0或b=0. 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 请用公式法解方程x²-3x=0，并与上面的因式分解法进行比较，用哪种方法更简单？ 所以 因此，原方程的根为 x1=3，x2=0. 显然，与因式分解法比较，公式法步骤较多，而且运用求根公式计算比较繁琐.因此用因式分解法更简单. 若用公式法解方程x²-3x=0. 则方程中a=1，b=-3，c=0. 因此 b²-4ac=(-3)²-4×1×0=9＞0. 例1 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1)； (3)(35-2x)²-900=0. 解： (1)原方程可化为 把方程左边因式分解，得 由此得 解得 x²-8x=0. x=0或x-8=0. x(x-8)=0. x₁=0，x₂=8. 从例1(1)的求解过程可知： ①用因式分解法解一元二次方程，应满足方程右边为0，方程左边能因式分解的条件； ②利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. (2)2x(5x-1)=3(5x-1). (2)原方程可化为 把方程左边因式分解，得 由此得 2x(5x-1)-3(5x-1)=0. 5x-1=0或2x-3=0. (5x-1)(2x-3)=0. 解得 x₁=或x₂=. (3)(35-2x)²-900=0. (3)原方程可化为 把方程左边因式分解，得 由此得 (35-2x)²-30²=0. 65-2x=0或5-2x=0. (65-2x)(5-2x)=0. 解得 x₁=32.5或x₂=2.5. 例2 用因式分解法解方程：x²-10x+24=0. 解： 配方，得 把方程左边因式分解，得 由此得 解得 x²-10x+5²-5²+24=0. x-4=0或x-6=0. (x-5+1)(x-5-1)=0. x₁=4或x₂=6. 原方程可化为 (x-5)²-1²=0. 由例2可以看出，如果能把方程x²-bx+c=0的左边进行因式分解后写成 x²-bx+c=(x-d)(x-h)=0， 则d和h是方程x²-bx+c=0的根. 反过来，如果d和h是方程x²-bx+c=0的根，则方程的左边就可以分解成 x²-bx+c=(x-d)(x-h). 1. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ） A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0 C. 2x²+7x+6=0 D. 6x(x+2)=0 A 解析： 2x (x+2)+3x+6=2x(x+2)+3 (x+2)=(x+2)(2x+3)，则原方程可化为 (x+2)(2x+3)=0，故选A. 随 堂 小 测 2.解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1 = ， x2 = . x2 + x - 2 = 0 -2 1 3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x - 5)(x + 2) = 18. 解： 原方程化为： (x - 5)(x + 2) = 18. ① 由 x - 5 = 3，得 x = 8； ② 由 x + 2 = 6，得 x = 4； ③ 所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. 解: 不正确.原方程未化成一般形式就进行因式分解. 原方程化为： x2 - 3x - 28 = 0， (x - 7)(x + 4) = 0， x1 = 7，x2 = -4. 解：（1）化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. （2）因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 4.解方程： 解得 5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r， 根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 解得 (舍去). 小结 概念：将方程左边因式 分解，使右边为 0 因式分解法 步骤：简记歌诀 右化零，左分解；两因式，各求解 原理：如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b) 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$