九上 2.2.2 公式法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.2 公式法 1 学习目标 1.会用公式法求解一元二次方程. （重点） 2.经历一元二次方程求根公式的推导过程，培养逻辑推理能力和运算能力.（难点） 复习引入 利用配方法解方程： 配方法解一元二次方程的步骤: 1.移项； 2.二次项系数化为1； 3.方程两边都加上一次项系数的一半的平方； 4.原方程变形为(x+m)2 =n 的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 问题：你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 1.化：把二次项系数化为1; 3.配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形：方程左边分解因式,右边合并同类; 2.移项：把常数项移到方程的右边; 知识讲解 知识点 用公式法解一元二次方程 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 能不能开方？ 有没有解？ 一元二次方程 （a≠0） 在b2-4ac≥0时，它的根为 (b2-4ac≥0) 我们通常把这个式子叫作一元二次方程 的求根公式. （a≠0） 总结归纳 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系. 利用公式法再解方程： 公式法解一元二次方程的步骤: 1.将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)； 2.明确系数a，b，c的值； 3.计算Δ=b2-4ac的值，确定方程根的情况； 4.如果Δ=b2-4ac ≥0，利用求根公式直接求出方程的根. 例1：用公式法解方程 x2-x-2=0. 1.变形： 化已知方程为一般形式; 3.计算: b2-4ac的值; 5.定根： 写出原方程的根. 2.确定系数： 用a,b,c写出各项系数; 解： a ＝ 1， b ＝ -1， c ＝ -2. 因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2) ＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0， 所以 x ＝ ， 因此， 原方程的根为x1＝ 2，x2＝ -1. 4.代入： 把有关数值代入公式计算; 例2 ：解方程：9x2 + 12x + 4 = 0. 解：这里 a = 9，b = 12，c = 4. 因而 b2 - 4ac = 122 - 4×9×4 = 0， 所以 因此，原方程的根为 1.把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 4.写出方程的解： x1= ?, x2= ? 3.代入求根公式 : (a≠0, b2-4ac≥0). 2.求出b2-4ac的值. 总结归纳 随 堂 小 测 1. 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a = 5，b = -4，c = -12， b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 > 0. 2. 解方程： 化为一般式 解： 即 3. 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0. ∵ 在实数范围内负数不能开平方， ∴ 方程无实数根. 解： 4. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7， c = -18. ∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = -9， x2 = 2 . 5. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6. 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = -7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = -47 < 0. ∴ 原方程没有实数根. 6. 解方程：2x2 - x + 3 = 0. 解： 这里 a = 2，b = ，c = 3. ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0， ∴ ∴ x1 = ，x2 = 7.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0. (1)求出方程的根; 解：（1）根据题意，得m≠1， 因为b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1)=4， 所以x==， 所以x1=，x2=. 7.已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2-2mx+m+1=0. (2)m为何整数时,此方程的两个根都为正. (2)由（1）知，x1==1+，x2=1. 因为方程的两个根都是正整数，m为整数，且m≠1， 所以m-1=1或m-1=2， 所以m=2或m=3. 小结 求根公式： 公式法 步骤：一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$