九上 2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第3课时 用配方法解二次项系数不为0的一元二次方程 1 学习目标 1.通过实例理解配方法，知道配方法解二次项系数不为1的一元二次方程解法的基本步骤. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点） 知识回顾 把上面式子写成(x + n)2 +d 的形式， 其中n等于一次项系数的一半， x2＋bx＋c＝0（a,b，c是已知数，a≠0）， 然后在求两个一元一次方程的解. . 如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程②呢？ 25x2+ 50x - 11 = 0. 这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就好办了.我们可以直接将左边化为(x + n)2的形式. 由于方程25x2 + 50x - 11 = 0 的二次项系数不为1， 为了便于配方， 我们可根据等式的性质，在方程两边同除以25， 将二次项系数化为1， 得 x2 + 2x - ＝ 0. 那么现在你会利用配方法解这个方程了么？ 新知引入 x2 + 2x - ＝ 0, x2 + 2x +12 - 12 - ＝ 0, 配方， 得 因此 (x + 1)2 = , 由此得 x + 1 = 或 x + 1 = , 解得 x1 =0.2, x2 = 2.2. 二次项系数化为1 25x2+ 50x - 11 = 0, 方程左边配成完全平方 将方程转化为两个一元一次方程 两个一元一次方程分别求解 知识讲解 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1：解方程： 4x2 -12x -1 = 0. 解：将二次项系数化为1，得=0， 配方，得3x+（-（， 因此 （x-）2= ， 因此得 x-= 或x-=-， 解得x1=， x2 = . 可以先将二次项系数化为 1. 练一练：用配方法解下列方程 -2x2+4x-8=0. 首先回顾一下利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 如果二次项系数不为1，可以两边同时除以这个系数， 再在方程的左边加上一次项系数的一半的平方， 再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里. -2 x2 +4x - 8 = 0. 将上述方程的二次项系数化为1，得 x2 - 2x + 4 = 0. 将其配方，得 x2- 2x + 12- 12+ 4 = 0， 即 (x-1)2= -3. 因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数. 因此，(x-1)2= -3 不成立， 即原方程无实数根. 用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解. 二次项系数化为1 方程左边配成完全平方 将方程转化为两个一元一次方程 两个一元一次方程分别求解 归纳总结 例2：一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高？ 解：将 h = 10 代入方程式中. 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2， 配方，得 t2 - 3t + = - 2， = 移项，得 = 即 t - = 或 t - = . 所以 t1 = 2 ， t2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高. 例3.试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1 = (k－2)2＋1， 因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1， 所以 k2－4k＋5 的值必定大于零. 例4 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 试判断△ABC 的形状. 解：将原式配方，得 ∴△ABC 为直角三角形. 由非负式的性质可知 即 ∴ 例5：解方程 4x2 -12x - 1 = 0. 解：将二次项的系数化为 1，得x2 - 3x - = 0， 配方，得 因此 由此，得 或 所以 随 堂 小 测 1.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A. (x+1)2=6 B. (x+2)2=9 C .(x﹣1)2=6 D .(x﹣2)2=9 C 2.[广西中考] 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 (　　) A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 B 3.[怀化中考] 已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 (　　) A.4 B.-4 C.±4 D.±2 C 4.[永州中考] 若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根, 则实数m 的取值范围是　　　　　　. m>-4　 5.解方程： （1）x1=1或x2= （2）x1=或x2=-. ; . 5.解方程： （3）x1=或x2=; （4）原方程无实根. ； . 6.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根. (1)求a 的取值范围; (2)当a 取满足条件的最小整数值时,求方程的解. 解：(1)根据题意得Δ=(-4)2-4(3-a)>0, 解得a>-1. 6.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根. (1)求a的取值范围; (2)当a取满足条件的最小整数值时,求方程的解. 解：(2)由(1)知a的最小整数值为0, 此时方程为x2-4x+3=0, (x-3)(x-1)=0, x-3=0或x-1=0, 所以x1=3,x2=1. 小结 定义：在方程两边都配上 配方法 应用：求代数式的最值或证明 步骤：一移常数项且二次项系数化为 1； 二配方[配上 ]； 三写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四开平方解方程 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$