九上 2.2.1 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1 学习目标 1.理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点） 复习引入 填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？ (1)x2＋6x＋____＝(x＋____)2 ； (2)x2－6x＋____＝(x－____)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋____－___＋5 ＝(x＋____)2 －____． 9 3 9 3 9 3 4 9 你能发现什么规律吗？ 归纳总结 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 即x2 + px + ( )2 = ( x + )2 知识讲解 知识点1 二次三项式的配方 例1： 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2 + 4x + = ( x + )2； （2）x2 − 6x + = ( x − )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； x2 − x + = ( x − )2. 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式. 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 探究交流 解方程：x2 + 4x - 12=0. (1) 问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ 解： x2 + 4x - 12= 0 x2 + 4x = 12 移项 x2 + 4x + 4 = 12 + 4 两边都加上 4 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方 问题2 为什么在方程 x2 + 4x = 12 的两边加上 4？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式. 在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的. 一元二次方程配方的方法： 方法归纳 例2：用配方法解下列方程： (1) x2 + 10x + 9 = 0； 解：　　　　　　　 配方，得 x2 + 10x + 52-52 + 9 = 0， 因此 (x + 5)2 = 16， 由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4， 解得 x1 = -1，x2 = -9. 解：　　　　　　　 配方，得 x2-12x + 62-62-13 = 0， 因此 (x-6)2 = 49， 由此得 x-6 = 7 或 x-6 = -7， 解得 x1 = 13，x2 = -1. (2) x2 - 12x - 13 = 0. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： 移项 配方 开方 求解 定解 把常数项移到方程的右边 方程两边都加上一次项系数一半的平方 方程两边开平方 解一元一次方程 写出原方程的解 方法归纳 变式：解方程 x2 + 8x -9 = 0 . 解：可以把常数项移到方程的右边，得x2 + 8x = 9， 两边都加 42 (一次项系数 8 的一半的平方)，得x2 + 8x + 42 = 8 + 42 ， 即(x + 4)2 = 25. 两边开平方，得x + 4 = ， 即 x + 4 =5 或 x + 4 =-5 . 所以 x1 =1， x2 =-9 . 随 堂 小 测 1.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，则 b 等于( ) A. -13 B. 13 C. -21 D. 21 D 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 B 　　 解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝， 开平方，得x＋1＝± ，即x＋1=或x＋1 ∴x1＝－，x2＝－. 　　   3.解下列方程 (1)3(x＋1)2＝； 解：开平方，得3x＋2＝ ± 5，即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴x1＝1，x2＝－. (2)(3x＋2)2＝25； 解： 方程的两根为 4.解下列方程： ； 解：移项，得 x2－8x = －1. 配方，得 x2－8x + 42 = －1 + 42， (x－4)2 = 15. 直接开平方得 即 5. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8. 解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8. 移项，得 x2 + 2x = 3， 配方，得x2 + 2x + 1 = 3 + 1， 即(x + 1)2 = 4. 开平方，得 x + 1 = ±2. 解得 x1 = 1， x2= －3. 6.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积Rt△ACB面积的一半？ 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． A C B P Q   整理，得x2-14x+24=0, 即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 小结 用配方法解 一元二次方程 基本思路 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形 式，再用直接开平方法，直接求根 配方法解一元二次方程的步骤 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$