九上 2.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.2 　一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 1 学习目标 1.掌握用直接开平方法对形如x2=a，（ax+n）2=d形式的一元二次方程进行求解. （重点） 2.体会解一元二次方程中的转化与降次思想.（难点） 复习引入 什么叫做平方根? 若x2=a，则x叫做a的平方根.记作x= 如：9的平方根是______, ±3 的平方根是______. 即x= 或x= ± 如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解：（1）∵x是4的平方根， ∴此一元二次方程的解为x1=2，x2 =－2 . （2）移项，得x2=2 , ∵ x就是2的平方根, ∴x=±. ∴此一元二次方程的根为x1= ，x2=-. ∴x＝±2， 知识讲解 知识点1 一元二次方程的根 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例1 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值. 问题1：能化为 (x + m)2 = n(n≥0) 的形式的方程需要具备什么特点？ 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为 (x + m)2 = n(n≥0). 问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即 (2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 知识点2 直接开平方法解一元二次方程 解下列方程，并说明你所用的方法. (1) x2 = 4; (2) x2 = 0; (3) x2 + 1 = 0. （1）解：根据平方根的意义，得x1 = 2，x2 = -2. （2）解：根据平方根的意义，得x1 = x2 = 0. （3）解：根据平方根的意义，得 x2 = -1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般地，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (1) 当 n > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例2 利用直接开平方法解4x2 - 25 = 0. 解： 原方程可化为 根据平方根的意义，得 在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5.由此想到: (x + 3)2 = 5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5. 于是，方程 ( x + 3 )2 = 5 的两个根为 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 例3 解下列方程： (1) (2x＋1)2 = 2 ； 分析：通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 解：(1) 根据平方根的意义，得 或 分析：第 2 小题先将-4 移到方程的右边，再同第 （1）小题一样地解. 例3 解下列方程： (2) (x-1)2-4 = 0； 即 x1 = 3，x2 = −1. 解：(2) 移项，得 (x - 1)2 = 4. ∵x - 1 是 4 的平方根， ∴x - 1 = ±2， ∴ x1 = ， x2 = (3) 12(3 − 2x)2 − 3 = 0. 分析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解. 解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 − 2x = ±0.5， 即 3 − 2x = 0.5，或 3 − 2x = −0.5. 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 例4 解下列方程： 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x + m)2 = n (n≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 交流探讨 随 堂 小 测 C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ， x2= D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= −4 1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . x1＝0.5，x2＝−0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 2. 填空： 3. 解下列方程： (1) x2 − 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. 解：x1＝9，x2＝−9. 解：x1＝5，x2＝ −5. 解：x1＝1，x2＝−3. 4.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视. 解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. 综上所述m = 2. 5.已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值. 解：由题意得 即 6.解方程： 解： ∴方程的两根为 或 小结 概念：利用平方根的定义求方程的根的方法 直接开平方法 基本思路：利用直接开平方法降次 步骤：关键要把方程化成 x2 = n(n≥0)或 (x + m)2 = n (n≥0). 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 27 $$