九上 2.1 一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.1 　一元二次方程 1 学习目标 1.了解一元二次方程的有关概念. （重点） 2.了解一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.（难点） 3.由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型. 新知导入 像方程3x+7 =18，2(y+4)+3=12y这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，我们把这样的方程叫做一元一次方程. 1. 你能举例说明什么叫作一元一次方程吗？ 2. 你能举例说明什么叫作分式方程吗？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.例如 (1) 当m= 时，关于x的方程(m+3)x|m-1|+3x-5=0是一元一次方程. 3. 做一做： 2x2+3x-5=0，6x2+3x-5=0叫作什么方程呢？ (2)当m=-1，m=3时，关于x的方程(m+3)x|m-1|+3x-5=0分别是 、 . -3或0或2 2x2+3x-5=0 6x2+3x-5=0 （1）如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径x应满足的方程(其中π取3). 要建立方程，关键是找出问题中的等量关系，问题(1)中涉及的等量关系是什么？ . 矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× 在问题(1)中，矩形的面积是 ，圆的面积可表示为 . 200×150 3 化简，整理得 ① 根据等量关系，可以列出方程为 （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 问题(2)所涉及的等量关系是： 两年后汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)². 该市前年汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得 75×(1+x)²=108. 25x²+50x-11=0. ② 方程① ②中，每个方程有几个未知数？它们的左边是x的几次多项式？ x²-2500=0. ① 25x²+50x-11=0. ② 方程①②中，每个方程只有1个未知数.它们的左边是x的二次多项式. 知识讲解 知识点1 一元二次方程的概念 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程. 由方程①和②受到启发，我们得到以下概念： 一元二次方程的一般形式是： ax²+bx+c=0(a，b，c是已知数，a≠0). 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 例如，方程x²-2500=0中二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2500. 例1. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0         (1) x2+ x=36 提醒：判断一个方程是否是一元二次方程，应先化简，再判断. 例2.方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解:（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时,是一元二次方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时,是一元一次方程. 提醒：当 的项的系数为字母的时候，要注意其取值范围，只有当系数不为0时，才有可能是一元二次方程. 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0). ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 提醒：系数一定要带上前面的符号，是复数时，一定不要遗漏. 例3.将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,二次项系数是3；一次项是-8x,一次项系数是-8；常数项是-10. 随 堂 小 测 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 =-1 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 4.(桂林中考)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场.设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. D 解析：用含x的代数式表示要比赛的场数是场，而要比赛的场数是110场，因此列方程，故选 D. 5.(1)有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50 cm x 3600 cm2 解：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm，根据方盒的底面积为 3600 cm2，得 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ (2)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：根据题意，列方程 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 小结 一元二次方程的概念 一元二次方程 一元二次方程的一般形式 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$