九上 1.3 反比例函数的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第1章 反比例函数 1.3 　反比例函数的应用 1 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而能用反比例函数解决一些简单的实际问题. （重点） 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 3.综合运用反比例函数的性质解决相关问题.（难点） 问题引入 ∵存在x和y都为正整数且x和y的积为12， 设一根火柴的长度为1，能否用若干根火柴首尾顺次连接摆出一个面积为12的矩形？面积为12的正方形呢？ 解：设摆的长为x,摆的宽为y(x，y为正整数),则 ∴能摆出矩形. 若要摆出正方形，那么x和y的值就相等. ∴不能摆出正方形. x•y = 12(x和y为大于0的整数). 此时x=y=≠正整数， 在现实世界里，成反比例的量广泛存在着.用反比例函数的表达式和图象表示问题情境中成反比例的量之间的关系，能帮助我们分析和判断问题情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围下，变量的变化规律. (1)弄清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题 (包括已学过的基本公式，尤其是物理公式)． (2)分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围． (3)熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题． 用反比例函数解应用问题要明确三点： 知识讲解 知识点 用反比例函数解决实际问题 例1：设△ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高AD为y(cm).△ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点(3,4). (1) 求y关于x的函数解析式和△ABC的面积？ 设△ABC的面积为S(S为常数),则xy=S，∴y=. ∵函数图象过点(3，4)，∴4=，解得S=6. ∴所求函数的解析式为y=，△ABC的面积为6 cm2. 解: (2)画出函数的图象.并利用图象求当2<x<8时y的取值范围. ２ ４ ６ ８ . . . . . . . . ２ ４ ６ ８ y x ∵k=12＞0, x＞0， ∴图形在第一象限. 解:     ，   ， ， 例2：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 解得 d = 20. (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 例3： 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 300－1.5 =1.5 (m). 想一想 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 变式训练：假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 变形得 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 随 堂 小 测 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系式为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 2000 3. A，B两城市相距720千米，一列火车从A 城去B 城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系式是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________． 240千米/时 4. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升 (1升＝1 dm3) 的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系？ d (2) 如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：（1）有反比例函数关系 （2）10 cm = 1 dm， 把 d = 1 代入表达式，得 S = 3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，那么漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入表达式，得 d = 5. 所以漏斗的深为 5 dm. 5.码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v (单位：吨/天) 与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数表达式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k = 30×8 = 240， 所以 v 关于 t 的函数表达式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的表达式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t = 5 代入 ，得v=48. 6.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)； 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 小结 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 实际问题中的反比例函数 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $$