九上 1.2 第3课时 反比例函数y=k÷x（k≠0）的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第1章 反比例函数 1.2 　反比例函数的图象与性质 第3课时 反比例函数y=（k≠0）的图象与性质 1 学习目标 1.学会用待定系数法确定反比例函数的表达式以及反比例函数图象的性质应用. 2.用待定系数法确定反比例函数的表达式.（重点） 3.根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质.（难点） 复习引入 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线. 当 k > 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 1.设出函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做_____________. 待定系数法 2.反比例函数的图象位于第________象限，当x=1时，y =_____；当y = -2时，x =______；已知 x1＜ x2＜0，则y1 ____ y2. 一、三 4 -2 ＞ 回顾复习 知识讲解 知识点1 待定系数法求反比例函数表达式 例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）. （1）求出这个函数的解析式； （2）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （3）点B（3，4），C（，），D（2，5）是否在这个函数的图象上？ 解： （1）设这个反比例函数的解析式为， 因为点A（2，6）在其图象上，所以点A的坐标满足， 即，解得k=12. 所以这个反比例函数的解析式为 （2）因为12＞0， 所以这个函数的图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大. （3）将B，C，D的坐标分别代入反比例函数的解析式. 因为点B，C的坐标都满足，点D的坐标不满足， 所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上. 例2 已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）. （1）求这个函数的解析式； （2）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围. 解： （1）∵反比例函数的图象经过点A（2，3）， ∴，解得k=6, ∴这个函数的解析式为. （2）当x=-3时，y=-2；当x=-1时，y=-6. ∴ y的取值范围是-6＜y＜-2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设：设反比例函数的解析式为； （2）列：把已知的x与y的一对对应值同时代入，得到关于k的方程； （3）解：解方程，求出k的值； （4）代：将求出的k值代入所设解析式中，即得所求反比例函数的解析式. 小结 知识点2 反比例函数系数k的几何意义 （1）过反比例函数（k≠0）的图象上任一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴构成的矩形的面积均为|k|； （2）一条垂线段与坐标轴及该点与原点的连线构成的直角三角形的面积为|k|. o A（a，b） B C S矩形ABOC=|ab|=|k| S△ABO=S△ACO=|ab|=|k| 如图所示. 例3 如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为　　． 10 解析：设点A（a，b），点B（c，d）， ∵图象过A，B 两点， ∴ab=4，cd=4， ∴S△AOC= |ab|=2，S△BOD=|cd|=2. ∵点M（﹣3，2），∴S矩形MCOD=3×2=6， ∴S四边形MAOB=S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD=2+2+6=10. C D 例4 如图，A，B 两点在双曲线上，分别经过A，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=　　． 6 解析：∵点A，B 是双曲线 上的点，分别经过A，B 两点向x轴、y轴作垂线段， ∴两个矩形的面积都为|k|=4， ∴S1+S2=4+4﹣1×2=6． 总结归纳 o A（a，b） B C S矩形ABOC=|ab|=|k| S△ABO=S△ACO=|ab|=|k| 1.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设；（2）列；（3）解；（4）代. 2.反比例函数系数k的几何意义，如图： 随 堂 小 测 1.若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是　　． ﹣2 2.如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B,C，矩形ABOC的面积为4，则k=　　 ． ﹣4 3.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m 的值及△POB 的面积． 解：把P（1，4）代入得k=1×4=4， 把B（1，m）代入，得m =2， S△POB =S△POA﹣S△BOA = ×|4|﹣ ×|2|=1． 4.已知y是x 的反比例函数，当x =﹣3时，y =2．求： （1）y关于x 的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当y =﹣4时，求x的值； （3）点（﹣2，﹣3）在该函数图象上吗？请说明理由． 解：（1）设反比例函数解析式为 ，将x =﹣3，y=2代入解析式，得k=（﹣3）×2=﹣6， 则反比例函数的解析式为（x≠0）. （2）将y=﹣4代入 ，得x = . （3）∵﹣2×（﹣3）=6≠﹣6，∴点（﹣2，﹣3）不在该函数图象上． 5.若y=（m+3）是反比例函数，试求其函数表达式. 解：由反比例函数的定义可知 . 6.某运输队要运300t物资到江边防洪. (1)求运输时间t（单位：h）与运输速度v（单位：t/h）之间的函数表达式； 解：(1)由已知得vt=300， 所以t与v之间的函数表达式为t=. （2）运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2h之内运到江边， 则运输速度至少为多少？ 解：(2)运了一半物资后还剩300）=150（t），150=75（t/h）. 因为剩下的物资要在2h之内运到江边，所以运输速度至少为75t/h. 7.长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进.如图①和图②，当队伍 排位行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾， 甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从 位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）. 设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求出用v表示T的函数表达式（不写v的取值范围）， 并写出队伍在此过程中行进的路程. 解：T=t追及+t返回=+=， 在甲这次往返队伍的过程中，队伍行进的路程为v=400（m）. 故T关于v的函数表达式为T=，队伍在此过程中行进的路程为400m. 小结 利用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数的图象与性质 反比例函数系数k的几何意义 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$