九上 1.2 第2课时 反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第1章 反比例函数 1.2 　反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数y=（k＜0）的图象与性质 1 学习目标 1.能画出反比例函数y=（k为常数，k＜0）的图象. 2.反比例函数y=（k为常数，k＜0）的图象的画法及其性质的理解.（重、难点） 3.根据反比例函数y=（k为常数，k＜0）的图象探索并理解其性质. 新课导入 我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，以 k = -6 为例，如何画反比例函数y=-的图象？ y=-的图象与y= 的图象有什么关系？ 法一：列表描点作图 ... -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 ... ... 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 ... 法二：利用对称性 当x取任一非零实数a时， y=-的函数值为- ，而y=的函数值为 ，从而都有点P（a, - ）与点Q（a, ）关于x 轴对称， 因此 y=-的图象与y=的图象关于x轴对称. 于是只要把y=的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到y=-的图象. 知识讲解 知识点1 反比例函数y=（k＜0）的图象 从图中看出y=-的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大. 例1:画反比例函数 的图象. 分析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0． 解：列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y=-的图象． 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x 4 O 方法归纳 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　图象的画法与 图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限． 知识点2 反比例函数y=（k＜0）的图象与性质 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？ y x O y x O y x O 思考： 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数y=(k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数y(k＜0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 总结归纳 一般地，当k＜0时，反比例函数y= 的图象与y=-的图象关于x轴对称. ●由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，函数值y 随 自变量x 的增大而增大. (1) 当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 归纳：一般地，反比例函数y=(k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性 例2：一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） B x y x y x y x y B A C D O O O O 例3：已知反比例函数 ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 点(2，y1)和(3，y2)在函数 的图象上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < -2＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大 例4： 随 堂 小 测 1.在反比例函数 的图象的每一个分支上，y 都随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是( ) A. k > -1 B. k > 0 C. k ≥ -1 D. k < -1 D 2.对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( ) A.图象经过点(1，-3) B.图象位于第二、四象限 C.图象关于直线 y=x 对称 D.y随x的增大而增大 D 在每个象限内 3.在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与y=-的图象大致( ) O x y A O x y B O x y C O x y D D 2＞0，正比例函数图象经过第一、三象限，-1＜0，反比例函数在第二、四象限 4.点(-1，4)在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A.(4，-1) B.(，1) C.(-4，-1) D.(，2) 4×(-1)=-4 (-4)×(-1)=4 A 5.如图，△ABC 的三个顶点分别为 A(1，2)，B(4，2)，C(4，4).若反比例函数 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是( ) A.1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16 C 6.已知 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数y=(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a-1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a-1＜0，a+1＞0， 解得-1＜a＜1. 故 a 的取值范围为-1＜a＜1． 要特别注意分类讨论 7.已知反比例函数的图象的一支如图所示． (1)判断 k 是正数还是负数； (2)求这个反比例函数的表达式； (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以 k 是负数． (3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象如右图． (2)设反比例函数的表达式为 ，将(-4，2)代入其中，解得 k = -8，所以反比例函数的表达式为 小结 图象的画法（描点法）：列表、描点、连线 反比例函数y=（k＜0） 性质：在每个象限内，y随x的增大而增大 图象：分别位于第二、四象限 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $$