21.1 一元二次方程　课件　2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 情 境 导 入 21.1 一元二次方程 请同学们仔细观察下面图片，并列出方程. 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 新 课 探 究 21.1 一元二次方程 问题1：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 100cm 50cm 3600cm2 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm. 根据题意得， 整理，得 （100-2x）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 任务一 一元二次方程的概念 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 问题2： 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛 x（x-1）场。 整理，得 x2-x-56=0 可列方程 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？ 共同特点：（1）等号两边都是整式. （2）只含一个未知数; （3）未知数的最高次数是2. (1) x2+2x-4=0 (2)x2-75x+350=0 (3)x2-x-56=0 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 像上述方程这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程（必须满足三个特征）. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 提示 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (2) 2x2-5xy＋6y=0 (5) x2＋2x- 3=1+x2 (1) 7x2-6x=0 解：(1)、(4)是一元二次方程 (1)二次项系数为7，一次项系数为-6，常数项为0. (4)二次项系数为，一次项系数为0，常数项为0. (3) 2x2 - -1 =0 － 1 3x (4) =0 － y2 2 下列方程哪些是一元二次方程?如果是，请写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 练一练 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 任务二 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 【解析】 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 知识点 三角形的三边关系 1. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 练习 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的三边关系 2.关于x的方程 是一元二次方程，则（ ） A.a ≠±3 B.a=3 C.a=-3 D.a=±3 【解析】由题意，得 且a-3≠0， 解得a=-3. C 3. 已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 练习 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你运用了哪些数学思想？ 3.你总结了哪些学习经验？ 4.还有什么感悟和思考？ 21.1 一元二次方程 情境导入 课堂小结 新课探究 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) ，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A．x2－3x＝x2＋2 B．ax2＋bx＋c＝0 C．3x2－＋2＝0 D．2x2＝1 D 课后练习 2．将一元二次方程x(x＋4)＝8x＋12化为一般形式，正确的是( ) A．x2＋4x＋12＝0　 B．x2＋4x－12＝0 C．x2－4x－12＝0　 D．x2－4x＋12＝0 C 3．(人教9上P4)将关于x的一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项的值分别是( ) A．5，4，1　 B．5，4，－1 C．5，－4，1　 D．5，－4，－1 D 4．(人教9上P4)下列哪些数是一元二次方程x2＋x－12＝0的根？为什么？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4 解：当x＝－4时，有x2＋x－12＝(－4)2＋(－4)－12＝0； 当x＝3时，有x2＋x－12＝32＋3－12＝0． 故方程x2＋x－12＝0的根为－4或3．   5．(2024深圳模拟)已知x＝1是关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根，则k的值为　 　．  　5　 6．填空： (1)关于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，则k的取值范围是　 　；  (2)要使xk＋1＋x＋2＝0是关于x的一元二次方程，则k＝ 　 　．  　1　 　k≠1　 小结：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），等式的右边为0，等式的左边的各项系数都带符号. 7．(人教9上P3、北师9上P32改编)把方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一般形式，得　 　；其中二次项系数是　 　，一次项是　 　，常数项是　 　．  　－10　 　－8x　 　3　 　3x2 －8x－10＝0　 方程 一般形式 a b c 3x2－5x＝1 (x＋2)(x－1)＝6 1 3 －8 －1 －5 1 x2＋x－8＝0 3x2－5x－1＝0 8．(人教9上P4改编、北师9上P32)把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数a、一次项系数b和常数项c： 9．(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x． 解：根据题意，得x(x－2)＝100， 化为一般形式，得x2－2x－100＝0． 10．(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：有一根1 m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06 m2的矩形？ 解：设围成矩形的长为x m，则宽为(0.5－x)m， 根据题意，得x(0.5－x)＝0.06， 化为一般形式，得x2－0.5x＋0.06＝0． 小结：代入后使方程左右两边相等的值即为方程的根. 11．方程x2－3x－4＝0的根是( ) A．0，3　 B．1，－4 C．－1，4　 D．－2，3 C 12．(2024晋城模拟)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝2，x2＝－4，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋b(y＋1)＋c＝0的解是( ) A．y1＝2，y2＝－4　 B．y1＝－1，y2＝－5 C．y1＝3，y2＝－3　 D．y1＝1，y2＝－5 D 小结：（1）先将根代回到方程中，得到一个关于所求字母的方程，再求解这个方程即可；（2）不宜直接求字母的值时，注意用整体代入法. 13．(1)(人教9上P4改编)(2024泸州一模)已知x＝1是方程x2－3x＋c＝0的一个根，则实数c的值是　 　；  (2)(2024宿迁一模)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 024－6a＋2b的值为　 　． 　2 020 　 　2　 ★14． 0.45 已知m为方程x2＋3x－10＝0的根，求m3＋2m2－13m＋10的值． 解：∵m为方程x2＋3x－10＝0的根， ∴m2＋3m－10＝0，∴m2＋3m＝10， ∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－10m＋10 ＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－10m＋10 ＝10m－10－10m＋10＝0． THANK YOU $$