第二十四章 圆 单元测试2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试 一、选择题 1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（　　） A. B.2 C. D.4 2.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC 的度数是（　　） A.110° B.100° C.120° D.125° 4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　） A.12° B.22° C.24° D.44° 5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（　　） A.π B.3π C.9π D.12π 7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2） 8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（　　） A. B. C.4 D.6 9.已知：如图，△ABC． 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． ④∵∠A+∠B＝180°， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　    　． 14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是 　      　． 15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　    　（“相等”或“不等”）． 16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为 　          　． 17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　    　． 三、解答题 18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么 ， . （2）如果=，那么 ， . （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， . （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？ 19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E． （1）求证：AC＝BD； （2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数． 20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm． （1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　           　． 21.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD． （1）求证：AB＝CD； （2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（　　） A. B.2 C. D.4 【答案】D 【解析】解：∵OC⊥AB， ∴=且AB＝2BD， ∴∠AOC=∠BOC=45° ∴∠AOB=90° ∵OB＝2， ∴OB2+OA2＝AB2， ∴2OB2＝AB2， ∴AB＝4． 故选：D． 2.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】B 【解析】∵∠D＝25°， ∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°， ∵AC切⊙O于点C， ∴OC⊥AC ∴∠OCA＝90° ∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确． 故选：B． 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC 的度数是（　　） A.110° B.100° C.120° D.125° 【答案】A 【解析】解：∵∠ABC＝125°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝55°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝110°． 故选：A． 4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　） A.12° B.22° C.24° D.44° 【答案】C 【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°， ∴∠AOC＝156°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°， 故选：C． 5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】A 【解析】解：如图所示，连接OD， ∵∠ABD＝20°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝40°， ∵OA＝OD， ∴， ∵BD∥OA， ∴∠OAB＝∠ABD＝20°， ∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝50°， 故选：A． 6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（　　） A.π B.3π C.9π D.12π 【答案】C 【解析】解：连接OC，OB， ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB， ∵∠CAB=60°+30°=90°， ∴四边形ABOC是正方形， ∴OB=AB=3， ∴圆片的面积=π×32=9π 故选：C． 7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2） 【答案】B 【解析】解：如图，建立直角坐标系， 该圆弧所在圆的圆心是弦BC，弦AB垂直平分线的交点O′，坐标是（3，1）． 故选：B． 8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（　　） A. B. C.4 D.6 【答案】C 【解析】解：如图，连接OA，OB，OC， ∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝2∠B＝60°， ∵A是弧BC的中点， ∴＝， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝4． 故选：C． 9.已知：如图，△ABC． 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． ④∵∠A+∠B＝180°， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 【答案】D 【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 2、∵∠A+∠B＝180°， 3、∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾． 4、因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． 故选：D． 10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 【答案】A 【解析】解：如图，连接BI， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°， ∴∠D＝∠C＝60°， ∵点I为等边△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°， ∴AD是△ABC外接圆的直径， ∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°， ∴△DBI是等边三角形， ∴DI＝BI， ∵∠IAB＝∠IBA， ∴AI＝BI， ∴DI＝AI＝AD＝2， ∴BD＝DI＝2， ∴线段DB的长为2， 故选：A． 11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接AC. ∵CD为直径，CD⊥AB，A，O，E共线且AE⊥BC于E. ∴直线CD垂直平分线段AB，直线AE垂直平分线段BC ∴AC=BC=AB ∴△ABC为等边三角形 ∵AC=AB=BC，且AE⊥BC， ∴∠BAE=∠30°（三线合一） ∵AO＝1， ∴OF＝AO＝， 由勾股定理，得AF＝OF＝， 同理CE＝，OE＝， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， 由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝， ∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝． 故选：B． 12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】解：如图，当圆与直线AB相切时，切点是D和E， 连接P′D，P′′E， ∴P′D⊥AB，P′′E⊥AB， ∵∠BAO＝30°， ∴AP′＝2P′D＝2， 同理：AP′′＝2， ∴P′的横坐标是3﹣2＝1，P′′的横坐标是3+2＝5， ∴P的横坐标的范围是大于1且小于5， ∴横坐标为整数的点P的坐标是（2，0），（3，0），（4，0），共有3个． 故选：B． 二、填空题 13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　    　． 【答案】 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BC＝10， ∴BD＝5，AB＝10， ∴AD＝＝5， ∴的长为＝． 故答案为：． 14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是 　      　． 【答案】2π 【解析】解：如图，连接BC， ∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC＝4， 又∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝2． ∴S阴影部分＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π×22﹣＝2π． 故答案为：2π． 15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　    　（“相等”或“不等”）． 【答案】相等 【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝EB，CF＝DF， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF， ∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL）， ∴OE＝OF． 故答案为：相等． 16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为 　          　． 【答案】4或2 【解析】连接OA， ∵OE：OD＝3：5， 设OD＝5x，OE＝3x， 则OD＝OC＝5x， ∵CD＝10， ∴OE＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BM＝AB， 在Rt△OAM中，OA＝5，AE＝＝＝4， 当如图1时，CE＝OC+OE＝5+3＝8， 在Rt△ACE中，AC＝＝＝4； 当如图2时，CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2， 在Rt△ACE中，AC＝＝＝2． 综上所述，AC的长为4或2． 17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　    　． 【答案】 【解析】解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0）， ∴OA＝OB＝1， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴OD∥BC，OD＝BC， ∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图， ∵点M坐标为（0，1）， ∴OM＝1， 在Rt△OBM中，BM＝， ∴BC＝2BM＝2， ∴OD＝＝， 即线段OD的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么 ， . （2）如果=，那么 ， . （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， . （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？ 【答案】解：（1）如果AB=CD，那么=，∠AOB=∠COD； （2）如果=，那么∠AOB=∠COD；AB=CD； （3）如果∠AOB=∠COD，那么=，AB=CD； （4）OE与OF相等．理由如下： ∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∴AE=BE，CF=DF， 而AB=CD， ∴AE=CF， ∵OE=，OF=， ∵OA=OC ∴OE=OF． 故答案为： =，∠AOB=∠COD；∠AOB=∠COD，AB=CD； =，AB=CD． 【解析】 19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E． （1）求证：AC＝BD； （2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数． 【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接CD，AD， ∵∠BDC＝25°，， ∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°， ∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°， ∴∠BEC＝∠AED＝130°． 【解析】 20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm． （1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　           　． 【答案】解：（1）如图，连接AC， ∵AB＝6 cm，AD＝8 cm， ∴AC＝10 cm， ∵⊙A的半径为6 cm长， ∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外； （2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围是6 cm＜r＜10 cm． 故答案为：6 cm＜r＜10 cm． 【解析】 21.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD． （1）求证：AB＝CD； （2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴， ∵OC⊥BD， ∴， ∴， ∴AB＝CD； （2）解：连接OB，OC与BD交于E， ∵OC⊥BD， ∴BE＝DE＝×8＝4， ∴CE＝＝＝3， 设⊙O半径为r， ∴OE＝r﹣3， ∵OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝42+（r﹣3）2， ∴r＝， ∴⊙O的半径是． 【解析】 22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】解：（1）如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到EF的距离， ∵AB＝90cm， ∴． （2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G． ∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2， ∴，解得OD＝6， 在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，， ∴， ∴． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$