第一章 三角形 全章知识点复习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第一章《三角形》全章知识点复习题 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 1.如图，给出下列条件： ， ， ， ，选择其中个条件，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 3.如图，为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知，请添加一个条件使得，这个条件可以是 ．    4.如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【题型2 判定全等三角形的依据】 1.为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 2.如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 3.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 4.如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 1.如图所示，，，，，，则 2.如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 4.如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分．求的度数； 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 1.如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 2.如图，是等腰直角三角形，，D为上一点，延长到点E，使，连接，，并延长交于点F．求证：是直角三角形． 3.如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 4.如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 1.如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 2.应用拓展． (1)如图1，在正方形中，M是边（不含端点B、）上任意一点，P是延长线上一点，N是的平分线上一点．若，求证：； 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边上截取，连接．（下面请你完成余下的证明过程） (2)如图2，是的角平分线，H，G分别在，上，且，若，请探究线段与线段、之间满足的等量关系，并加以证明． 3.（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 4.已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型6 网格中找全等三角形】 1.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 2.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 度． 3.如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则 ． 4.如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 1.如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 4.如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 1.如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 2.如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 3.如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 4.如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 1.如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 2.如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 3.如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 4.如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 1.如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 2.如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 3.如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 4.在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 1.如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 2.如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 3.如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 4.如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 1.如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    3.在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 4.如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 1.如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 2.如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 3.程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4.如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 1.如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3.在中，，点是边的中点，过点作于点，点是延长线上一点，已知，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4.如图，为的高，点为的垂直平分线与的交点，，平分．给出以下五个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中结论正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④ 【题型15 全等三角形中的动点问题】 1.如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 2.已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    3.如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 4.如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 1.如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 2.如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 3.如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 4.如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【题型17 格点与等腰三角形】 1.如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 3.如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 4.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 1.在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 3.点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4.如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 1.如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 2.如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    4.如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 1.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 2.如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 3.如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 4.点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 参考答案 【题型1 添加条件使成为全等三角形】 1.C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一排除即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、添加 ， ， 不能证明，原选项符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 故选：． 2.（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 3.（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据为等边三角形，可得，，进而可得，可知和中满足一组边和一组对角相等，再根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解： 为等边三角形， ，， 点A，D，E在一条直线上，， ， ， 又 ， 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 故答案为：（答案不唯一）． 4.①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【题型2 判定全等三角形的依据】 1.B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 2.B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 3. 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据题意知和的三边对应相等，即可得证．解题的关键是掌握判定三角形全等的方法， 【详解】解：由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线， ∴这种作法的依据是． 故答案为：． 4. 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】 1. 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2.B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 3.3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 4.解：∵将边对折，折痕为， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴ 【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】 1.（1）证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.证明：因为是等腰直角三角形，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以是直角三角形． 3.（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 4.（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵即， ∴； （2）证明：是等边三角形， ， ∵为等腰三角形，且， ∴ ，                 ∴ ，          在与中， ∴； （3）解：， 同理（2）得，   ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴即 ， ∵， ∴ ， ∴ 即， ∵， ∴的周长为． 【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 1.（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 2.（1）证明：如图1，在边上截取，连接． 正方形中，，， ， ， ， ， 是的平分线上一点， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：． 理由：在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 又， ，即， ， ， ， ． 3.（1）解：延长交的延长线于点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点． ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ； （3）． 证明：如图，延长至F，使， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ，． 是的中线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 即，． 4.（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型6 网格中找全等三角形】 1.A 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 2.45 【分析】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，是对角线， ∴， ∴， 故答案为：45． 3. 【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 【题型7 等腰（边）三角形性质的应用】 1.C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 2.C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 4. 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型8 证明是等腰（边）三角形】 1.证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 2.（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 3.（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 4.（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型9 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 1.C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 2.14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 3. 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算；延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 4.（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明： ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【题型10 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 1.（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 2.（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 3.（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 4.（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质求最值】 1.50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 2.6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 3.B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故选：B． 4.D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质求面积】 1.C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，证明全等三角形是解题的关键．根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 2. 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 3. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于点G，先证，可得，进一步可得，进而求得的面积． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵为的平分线，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为，． 故答案为：3． 【题型13 尺规作图与全等三角形的交互应用】 1. 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作角平分线的方法，以及全等三角形的判定和性质进行解题． 根据题意，先证明，则，，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为：． 故答案为：． 2.C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 3.B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 4.（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【题型14 与全等三角形有关的多结论问题】 1.C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 2.C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， 又∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③； 故选：C． 3.B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；过点作于点，根据条件证明出，进一步证明出，利用全等的性质及等量代换得到关系即可进行判断． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， 故选项A、C、D正确， 而与不一定相等， 故选：B． 4.B 【分析】①设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断； ②根据三角形内角和即可推断； ③根据三角形内角和即可推断； ④延长使，连接，证明，利用三角形内角和即可推断； ⑤根据线段之间的运算即可推断． 【详解】解：①设， ∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， ∴不是的平分线； ③∵，， ∴， ④延长使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ⑤∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①③④⑤正确，故选：B． 【题型15 全等三角形中的动点问题】 1.B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 2.1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 3.（1）解：∵，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为：． （2）解：全等，理由： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）解：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边，即， 若，且， 则，， 点，点运动的时间， 点的运动速度； 答：当点的运动速度为时，能够使与全等． 4.厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 【题型16 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 1.或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 2. 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 3.解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 4.（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【题型17 格点与等腰三角形】 1.C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 2.（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 3.C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4.4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【题型18 确定构成等腰三角形个数的点】 1.】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 2.A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    3.A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 4.（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型19 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 1.4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又 ， ， 故答案为：4． 2.B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 3. 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型20 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 1.100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 2.或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 3.或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 4.或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$