3.1 第1课时 二次根式的概念及性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(湘教版2024)

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义的条件及性质，通过回顾算术平方根和第一宇宙速度的实际问题导入，连接平方根旧知与新知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步理解二次根式的本质。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，辨析式练一练发展推理意识，分层例题与小测强化运算能力。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助结构化流程和实用素材提高教学效率。

第3章 　二次根式 3.1 　二次根式的概念及性质 第1课时　二次根式的概念及性质 1 1. 了解二次根式的概念； 2. 理解并掌握二次根式的性质： =a(a≥0)和 =a(a≥0). 学习目标 2 (1)2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的？ (2)用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） (3)比较(1)(2)的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 新课导入 3 ※ 新知探究 (1)2,3,5的算术平方根分别为，，. (2)因为速度一定大于0，所以第一字宙速度v=. (3)，，与等都是形如的式子. 一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 两个必备特征 外貌特征：含有“” 内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 4 练一练 下列各式是二次根式吗? 是 不是 不是 (x，y 异号)； 不是 不是 是 不是 不含二次根号 被开方数是负数 当m>0时被开方数是负数 xy＜0 非负数+正数恒大于零 根指数是 3 5 我们知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和-，其中称为a的算术平方根.同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 【例1】当 x 是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义? 解：由 x - 1≥0，解得x≥1. 因此，当 x≥1时，在实数范围内有意义. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 7 练一练 解：(1)由题意得 x - 1＞0， 所以x＞1. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (2)因为被开方数需大于或等于零， 所以3+x≥0，所以x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x - 1≠0，所以 x≠1，所以x≥-3且 x≠1. 8 (1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳总结 9 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 【例2】计算： (1)()2； (2)(-2)2. 解：(1)()2=5. (2)(-2)2=(2)2=22×()2=4×2=8. 计算： (1)()2； (2)(2)2. 解：(1)()2=2.25. (2)(2)2==22×()2=4×5=20. 练一练 做一做 填空： (1)= ; (2)= ; (3)= ; (4)= . 1.2 2 1.2 2 由于a的平方等于a2，因此a是的一个平方根，当a≥0时，根据算术平方根的意义，有=a，由此得出：=a(a≥0). 由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一个平方根.当a＜0时，-a>0，根据算术平方根的意义，可以得到：==-a(a<0). 综上可得： 12 【例3】计算： (1)； (2). 解：(1)==. (2)==. 1.下列各式：；；;；；.一定是二次根式的有（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______； (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x≥1 x≥0且x≠2 随 堂 小 测 14 3.当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？ 解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x+3≥0和分母x+1≠0， 解得x≥-3且x≠-1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零. 15 4. 计算： 3 5. 计算： 3 0.01 7 π-2 6.实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， 所以原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-(a-b) =-2a. a b 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 课堂小结 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$