3.4 函数的应用(一) （教学设计）数学人教A版2019必修第一册

3.4 函数的应用(一) 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第三章“函数的概念与性质”中3.4节“函数的应用(一)”。内容包括利用一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型解决实际问题，通过具体案例（如个税计算、销售利润、行程问题、阶梯水价等）展示函数模型的建立与应用过程。 内容解析 函数应用是函数概念及性质的综合实践，核心是将实际问题转化为函数模型并求解。不同函数模型对应不同实际场景：一次函数适用于均匀变化过程，二次函数常用于最值问题，分段函数对应多规则场景，幂函数则可描述非线性增长关系。通过具体案例分析，学生需掌握“审题→建模→求解→验证”的完整流程，体会数学建模的思想。 教学目标 (1) 通过具体案例分析，能识别不同函数模型的适用场景，掌握一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型的建立方法。 (2) 能独立完成案例的求解流程：从案例中提取变量→建立函数关系→利用函数性质求解→验证结果是否符合实际。 (3) 体会函数模型在解决实际问题中的作用，提升数学建模和数据分析能力。 目标解析 达成上述目标的标志是： (1) 学生能针对“出租车分段计费”案例建立分段函数模型，针对“最大利润”案例建立二次函数模型，明确不同模型的选择依据。 (2) 学生能在“个税计算”案例中，分区间列出税额与收入的函数关系，并根据给定收入计算应纳税额，验证结果是否符合税率规则。 1. 客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.学生已掌握基本函数的解析式和性质，但对实际案例中变量关系的提取能力较弱，易忽略定义域的实际限制（如销量不能为负）。 1. 对案例中的专业术语（如“应纳税所得额” “阶梯计费”）理解存在障碍，需通过通俗化解读降低难度。 1. 在分段函数案例中，易出现区间划分错误；在二次函数最值案例中，常忽略对称轴与定义域的匹配性。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：针对具体案例选择合适的函数模型（一次函数、二次函数、分段函数、幂函数），从案例中抽象变量关系，建立函数解析式并明确定义域，利用函数性质（单调性、最值）解决案例中的实际问题；教学难点：案例中复杂关系的拆解（如个税计算中的分段税率），结合案例实际意义验证求解结果的合理性（如利润不为负、销量为非负数）。 情境1：手机套餐“流量焦虑” 投影某运营商 5 月账单： “前 5 GB 内 3 元/GB，超出后 5 元/GB，当月封顶 60 元。” 问： 1 这是哪类函数？② 若我用了 7 GB，该交多少钱？③ 用多少流量最划算？ 情境2：校园“共享雨伞” 现场扫码借伞： “起步 0.5 h 内 1 元，之后每 0.5 h 加 0.5 元，当日封顶 8 元。” 让学生现场计算 3.2 h 费用，引出分段函数。 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法． 案例1：分段函数模型——个人所得税计算 例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为（单位：元）． （1）求关于的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 【分析】根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额关于综合所得收入额的解析式，再结合的解析式③，即可得出关于的函数解析式． 【解析】（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得 ． 令，得． 根据个人应纳税所得额规定可知，当时，． 所以，个人应纳税所得额关于综合所得收入额的函数解析式为 ． 结合3.2.1例8的解析式③，可得： 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 所以函数解析式为： ④ （2）根据④，当时，． 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5 712元． 根据个人收入情况，利用上面获得的个税和月工资关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税． 【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. ①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). ②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). ③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 案例2：一次函数与分段函数结合——行程问题 典例分析 例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图3.4-1所示， （1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象． 你能根据图3.4-1画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？ 分析：当时间t在[0, 5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0, 1)，[1, 2)，[2, 3)，[3, 4)，[4, 5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述． 解：（1）阴影部分的面积为． 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km． （2）根据图3.4-1，有 这个函数的图象如图3.4-2所示． 本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助．因此，我们要提高读图能力．另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数． 【变式】某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题： (1)求y与x的函数解析式； (2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元， 每天至少卖出多少张门票？ 【解析】(1)由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,200]时， 代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000， 从而y＝10x－1 000； x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)， 解得k＝15，b＝－2 500，从而y＝15x－2 500， 所以y＝ (2) 每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]， 由15x－2 500>1 000，得x>，故每天至少需要卖出234张门票． 1.某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可. 【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大. 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查二次函数去最值，属于基础题. 2.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ． 【答案】. 【知识点】待定系数法、利用给定函数模型解决实际问题 【解析】设每件售价元时，售出件，用待定系数法即可求解，注意函数的定义域. 【详解】解：设每件售价元时，售出件，设， 因为，所以①， 因为，所以②， 解由①②组成的方程组得，，所以. 由. 故答案为：. 3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为 A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价． 【详解】设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润. 【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价—进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值方法，属于基础题． 4.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示： x 1 2 3 … y 1 3 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【解析】根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论． 【详解】解：根据表中数据可判断函数为一次函数， 将各数据代入中均成立， 故选：． 【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题． 5.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【答案】A 【知识点】解析法表示函数 【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式. 【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5. 所以函数解析式为. 故选：A 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    【答案】, 【知识点】解析法表示函数 【分析】由给定的图形，结合等腰梯形的性质求出函数解析式. 【详解】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E，则，    在中，，，则， 而，于是，， 所以，. 故答案为：, 7.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（    ） A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可. 【详解】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题. 8.某宾馆共有客床100张，各床每晚收费 10 元时可全部住满，若每晚收费每提高 2 元，便减少 10 张客床租出，则总收入 y(y>0)元与每床每晚收费应提高 x(假设 x 是 2 的正整数倍)元的关系式为(　　) A．y＝(10＋x)(100－5x) B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18 D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】四个选项的差别在于的范围不同，根据题意可选出正确的的取值范围. 【详解】依题意可知总收入的表达式为，由于是的正整数倍，且，即，故.答案为选项. 【点睛】本小题主要考查简单的收入计算问题，收入等于单价乘以住的床数，根据题目写出自变量的取值范围即可得到正确选项. 9.已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据判断出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由题意得函数的对称轴是直线，得图像开口向上.由在区间上单调递减可知，又，解得. 故选B. 【点睛】本小题主要考查二次函数的对称轴和单调性，考查不等式的解法，属于基础题. 10.某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足. 某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量(度)与相应电费 (元) 之间的函数关系如图所示.当月用电量为300度时,应交电费    A．130元 B．140元 C．150元 D．160元 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据图象确定函数解析式，再计算用电量为300度时应交电费. 【详解】当时，， 所以当时，，选D. 【点睛】本题考查函数解析式，考查待定系数法以及基本求解能力. 1.（多选题）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】BCD 【知识点】函数图象的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确． 【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 2.众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，试写出该种饼干900克装的合理售价． 【答案】9.6元 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】首先根据题中的关系建立模型，然后根据已知数据求解模型中的参数，再得结论． 【详解】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为． 由题意得， 即①， ， 即②． 由①②解得，． ∴． 当时，． 故这种饼干900克装的售价为9.6元． 3.(多选题）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】BC 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当40≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故当时， y与x的关系式为，故D错误． 故选：BC 4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法． 3．常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域． 二、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 1、 作业布置 1.课本P95的练习1——3题； 2.课本P95−−96，习题3.4的练习1——4题. 习题3.4（第95页） 综合运用 1．某人开汽车以60 km/h的速率从A地到150 km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地．把汽车与A地的距离x（单位：km）表示为时间t（单位：h）（从A地出发时开始）的函数；再把车速v（单位：km/h）表示为时间t的函数，并分别画出这两个函数的图象． 1．根据题意得 函数图象如图1， 由题意可得，函数图象如图2， 2．要建造一个容积为1 200 m3，深为6 m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）? 2．解析：设水池底的长、宽分别为，总造价为元，根据题意知， ．因为底面面积为，侧面积为， 所以总造价． 要使总造价，则． ． 所以水池的长在范围内变化时，总造价可控制在7万元以内． 3．为了保护好水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/ m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/ m3 超过18 m3的部分 9元/ m3 若某户居民本月缴纳的税费为48元，求此户居民本月用水量． 3．解析：设每户每月用水量为，需交纳的水费为元，则 若该居民交纳的水费为48元，那么用水量，令得， 所以该居民本月用水量为． 拓广探索 4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象． （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出来两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所示．你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 4．（1）根据题图（1）可得，点A的实际意义为当乘客量为0时，亏损1（单位）；点B的实际意义为当乘客量为1.5（单位）时，收支持平；射线AB上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损，当乘客量大于1.5时公司将赢利． （2）题图（2）的建议是降低成本且保持票价不变；题图（3）的建议是提高票价且保持成本不变． 5．下表是弹簧伸长长度x（单位：cm）与拉力F（单位：N）的相关数据： x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F 1 2 3 4 5 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 5．由表中表格画出散点图，如图所示．由图中考虑以作为刻画长度与拉力的函数模型． 取两组数据，有 ． 将已知数据代入解析式，或作出图象，可以发现，这个模型与已知数据拟合程度较好，说明它能较好地反映弹簧伸长长度与拉力的关系． 复习参考题3（第100页） 复习巩固 1．求下列函数的定义域： （1）； （2）． 1．解析：（1）由，得，故所求定义域为． （2）由，得，且，故所求定义域为，且． 2．设，求： （1）； （2）． 2．解析：（1）； （2）． 3．设，求证： （1）； （2）． 3．证明：（1）． （2）． 4．已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围． 4．解析：函数的图象的对称轴是直线．当或，即，或时，在上具有单调性，所示实数的取值范围是或． 5．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性． 5．解析：令，的图象过点，，解得，．根据函数解析式作出函数的图象，如图所示． 的定义域为，不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数． 由图象得在上单调递减． 6．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数： （1）将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润） 6．解析：（1），， （2）当时，， 所以当时，； 当时，， ，∴月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为元． 综合运用 7．已知函数，求，，的值． 7．解析：，． 8．证明： （1）若，则； （2）若，则． 8．证明：（1）． （2）， ． 因为，即， 所以． 9．（1）已知奇函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？ （2）已知偶函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？ 9．解析：（1）奇函数在上单调递减．证明如下： ，且，则． 因为在上单调递减，所以．又因为是奇函数，所以， 于是，即．所以在上单调递减． （2）偶函数在上单调递增． 证明：，且，则． 因为在上单调递减，所以．又因为是偶函数，所以． 于是．所以在上单调递增． 10．某地区上年度电价为0.8元/(KW·h)，年用电量为a KW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(KW·h)至0.75元/(KW·h)，之间，而用户期望电价为0.4元/(KW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/(KW·h)． （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元/(KW·h)）的函数解析式；（收益＝实际电量×（实际电价－成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ 10．解析：（1）依题意知用电量增至，则电力部门的收益为 ． （2）依题意有，整理得， 解得， ∴当电价最低定位元/（）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 拓广探索 11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．下列供求关系，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 11．解析：厂商希望产品价格低的时候，卖出的产品少，价格高的时候，卖出的多；而客户希望价格低时多买入，价格高时少买人．故厂商希望的供应曲线是题图（1）曲线，客户希望的需求曲线是题图（2）曲线． 12．试讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象． 12．解析：的定义域为，值域为． 因为函数的定义域关于原点对称，且， 为奇函数．函数在和上单调递增． ，且，则 ， ，又，， ∴函数在上单调递增，同理可证函数在上单调递增． 函数图象如图． 13．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的图象． 13．解析：，函数图象如图． 14．某商场经营一批进价为30元/价的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单位x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系． x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … （1）根据表中提供的数据描出实数对的对应的，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 14．由表题中所给数据，在平面直角坐标系中作出的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示． 设，则，解得，（，且）． （2）依题意，得 （，且）， ∴当时，有最大值300． 故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 函数的应用(一) 1. 案例分析与模型 案例 模型 关键步骤 个税计算 分段函数 分区间列解析式，速算扣除数 利润最大化 二次函数 求对称轴，结合定义域找最值 行程问题 分段一次函数 按时间节点划分区间 投资收益 幂函数 换元法转化为二次函数 1. 建模流程 审题→变量提取→列解析式→求解→验证 ( 3.4 函数的应用（一） 函数模型 例1 例2 例3 解决实际问题的基本步骤 ) 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 本节课通过四个具体案例，让学生直观感受不同函数模型的应用场景。学生在分段函数区间划分和二次函数定义域验证上仍有不足，需在后续练习中增加同类案例训练。教学中应多引导学生自主分析案例中的变量关系，提升从实际问题中抽象数学模型的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$