3.3 幂函数（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

3.3 幂函数 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第三章“函数的概念与性质”中3.3节“幂函数”。内容包括幂函数的概念、五个常见幂函数（，，，，）的图象与性质，以及幂函数的简单应用（比较大小、解不等式等）。 内容解析 1. 幂函数是基本初等函数之一，其形式简洁但性质丰富，是对函数概念及性质（单调性、奇偶性等）的综合应用与深化。本节课通过具体实例抽象出幂函数的概念，再通过图象研究其性质，体现了“从具体到抽象” “数形结合”的数学思想。 2. 幂函数的概念核心是“形如（为常数）的函数”，需强调其结构特征（系数为1，底数为自变量），与指数函数（底数为常数，指数为自变量）形成对比。 3. 五个常见幂函数的图象是研究其性质的基础，通过分析图象可归纳出幂函数在定义域、值域、奇偶性、单调性等方面的特征，其中第一象限的图象规律（如时递增，时递减）是重点。 4. 幂函数的应用主要涉及比较幂值大小（利用单调性）和解决与幂函数相关的不等式，需结合其奇偶性和单调性转化问题。 教学目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 目标解析 达成上述目标的标志是： • 看到 y = x⁻² 的图象，能 10 秒内说出“过 (1,1)，(0,+∞) 减，凸向上，偶函数”。 • 给出 (0.7)⁰·⁵ 与 (0.8)⁰·⁵，能立即比较大小。 • 面对“半径扩大 2 倍，流量变为几倍？”能用 v = k r⁴ 迅速回答 16 倍。 · 学生已学习函数的基本性质（单调性、奇偶性）及指数函数，具备研究函数的基本方法，但对幂函数的结构特征可能混淆（易与指数函数混淆）。 · 学生能通过描点法画出函数图象，但对五个幂函数图象的共性与差异归纳能力不足，尤其是的符号对单调性的影响（时在递增，时递减）。 · 在比较幂值大小时，学生对底数和指数均不同的情况（如与）难以找到中间量（如1或0），需加强方法指导。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念及结构特征，五个常见幂函数的图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性），利用幂函数的性质比较大小、解简单不等式；教学难点：幂函数与指数函数的区别（结构特征差异），幂函数性质的归纳（不同值对函数性质的影响），复杂幂值大小比较（底数和指数均不同时，需借助中间量）。 知识梳理 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 温故知新·“幂”的前世今生 口答： 1. 正方体棱长 x → 体积 V = ? 1. 正方形面积 S = x² → 边长 x = ? 学生发现：底数变、指数定 → 幂函数雏形。 导入1：咖啡拉花“幂” 教师现场用奶泡拉出 y = x² 抛物线，问：如果把指数改为 3、1/2、-1，图象会变成什么？ 这个导入设计非常巧妙，将数学知识与生活场景自然融合，具有以下亮点： 1. 具象化抽象概念：通过咖啡拉花的抛物线形态，将原本抽象的幂函数（y = x²）转化为可视、可感的实体，降低学生对函数图象的理解门槛。 2. 互动性引发思考：教师现场操作拉花的过程本身就是一种动态演示，而“指数改为3、1/2、-1，图象会变成什么”的问题，能快速激活学生的好奇心，促使他们联想已学知识（如三次函数、根式函数、反比例函数），主动构建知识间的联系。 3. 生活化降低距离感：咖啡拉花是学生在日常饮品中可能接触到的元素，用熟悉的场景承载数学知识，能消除学生对函数学习的畏难情绪，让课堂更贴近生活。 4. 递进式铺垫教学：以y = x²为起点，延伸到不同指数的幂函数，既复习了二次函数，又为后续学习幂函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、定义域等）埋下伏笔，使教学过渡更自然。 在实际教学中，还可以结合多媒体展示不同指数幂函数的图象，让学生直观对比“拉花曲线”的变化，进一步加深对幂函数特征的理解。 导入2：气体流量“四次方” 视频：风洞实验——“半径扩大 2 倍，流量扩大 16 倍！” 问题：为什么不是 2 倍而是 16 倍？引出 v = k r⁴ 的幂函数模型。 1. 实例分析：给出五个实例： · (1) 购买蔬菜的费用与重量的关系：； · (2) 正方形面积与边长的关系：； · (3) 立方体体积与棱长的关系：； · (4) 正方形边长与面积的关系：； · (5) 骑车速度与时间的关系：。 · 提问：这些函数解析式有何共同特征？（均为的形式，底数为自变量，指数为常数）。 1. 概念定义：给出幂函数的定义：一般地，函数（是自变量，是常数）叫做幂函数。 1. 辨析对比：提问：“和是幂函数吗？”（不是，前者系数不为1，后者是指数函数）。 设计意图：通过实例抽象概念，明确幂函数的结构特征，与指数函数区分，突破易混淆点。 同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念． 探究点1：幂函数的概念 问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例． （1）如果张红以1元/kg价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付元，这里是的函数； （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数； （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数，也可以表示为； （5）如果某人内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数．观察 观察（1）～（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数． 实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3，，；它们都是形如的函数． 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习． 一般地，函数叫做幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数． 对于幂函数，我们只研究，2，3，，时的图象与性质． 探究点2：归纳幂函数的图象与性质 问题2有了幂函数的定义，结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识,说一说接着应该研究什么？ 师生活动：学生思考，回顾前面学习的函数性质，列举定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等内容. 追问1如何研究一类函数的这些性质呢,按照怎样的过程进行研究？ 师生活动：学生回答.教师在学生回答基础上进行补充,最后指出由具体实例抽象出某类函数概念，然后根据函数解析式求出定义域，画出图象.画图可以借助描点法，同时可以借助函数性质来简化作图过程，然后利用图象与解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等其他性质，最后用课件展示流程图（如图3.3-1）. 设计意图：引导学生根据已有经验，明确一类函数的研究内容与路径，形成系统化的学习方法，为下面系统研究五个函数的图象与性质作铺垫. 问题2　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题． 思考 结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？ 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． 探究点2：绘制五个常见幂函数的图象 问题3　你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1这五个函数的图象吗？ 在同一坐标系中画出函数，，，和的图象（图3.3-1）． 探究 观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表3.3-1内． 问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表． 表3.3-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 这些函数图象有公共点吗？ 提示　R　R　R　[0，＋∞)　{x|x≠0}　R　[0，＋∞)　R　[0，＋∞)　{y|y≠0}　奇函数　偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数　增函数　在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减　增函数　在[0，＋∞)上单调递增　在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 通过图3.3-1与表3.3-1，我们得到： (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都通过点(1,1)； (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数； (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调递增，函数y＝x－1单调递减； (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． 新知总结：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 典例分析 例：证明幂函数是增函数． 证明：函数的定义域是．，且，有 ， 因为，所以，即幂函数是增函数． 【变式】已知函数是幂函数. (1)求实数的值,并求出的解析式; (2)证明在上是增函数. 问题特征 幂函数的概念与性质问题. 尝试解答 (1)思路 利用幂函数的定义. 解 因为函数是幂函数,所以,因此,所以. (2)思路 利用单调性得定义证明. 证法1 设,则. 因为,所以,不全为0,不妨设,则.因此,即. 故在上是增函数. 证法2 设,则. 因为,所以. (1)若,因为,所以. (2)若,则,即. 综上,.即.故在上是增函数. 注意点 幂函数的系数为1,自变量为,注意函数不是幂函数; 解决第(2)小题的关键是证明, 证法1利用配方法; 证法2利用分类讨论思想.还有一种证法:不妨设, 将视为关于的函数,由二次项系数为正数,判别式恒小于0,所以. 1.函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确. 故选：D. 2.（多选题）若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】AC 【知识点】判断一般幂函数的单调性、幂函数图象过定点问题、求幂函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据所给条件结合幂函数的意义，求出幂函数的解析式再探讨其性质即可得解. 【详解】因是幂函数，设，而其图象过点， 即，解得，于是得，且定义域为R， 显然是R上增函数，C正确； ，则为R上奇函数．A正确． 故选：AC 3.已知幂函数的图象过点，则下列关于的说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的定义域为 D．在上单调递增 【答案】D 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的基本性质逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，所以，函数的定义域为， 函数为非奇非偶函数，且该函数在上单调递增，ABC都错，D对. 故选：D. 4.（多选题）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 5.已知点在幂函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【解析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值. 【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则， 由已知条件可得，得，因此，. 故选：A. 6.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可. 【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，. 故选：B 7.（多选）下列结论正确的是（　　） A．幂函数的图象不可能在第四象限内 B．当时，幂函数的图象是一条直线 C．当时，幂函数是增函数 D．当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小 【答案】AD 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质逐项判断作答. 【详解】对于A，在幂函数中，当时，，因此幂函数的图象不可能在第四象限，A正确； 对于B，当时，幂函数为，其中，其图象是去掉点的一条直线，B错误； 对于C，当时，幂函数为，它在上为减函数，上为增函数，C错误； 对于D，当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小，D正确. 故选：AD 8.函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值． 【答案】3 【知识点】求幂函数的值、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的定义，得,求出的值，代入验证函数单调性，确定m的值． 【详解】由幂函数的定义，得， 解得或. 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数； 故m＝3. 9.已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为：. 10.已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 1.（20-21高一上·上海·课后作业）下列函数中，定义域为R的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与性质，对题目中的函数进行分析、判断即可． 【详解】解：对于A：函数，定义域为，不满足条件； 对于B：函数的定义域为，不满足条件； 对于C：，定义域为，满足条件； 对于D：函数的定义域为，不满足条件； 故选：C 【点睛】本题考查了求常见的函数定义域应用问题，属于基础题． 2.（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】求函数值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 3.（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象过定点问题、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 4.（2022高三·全国·专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（    ） A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解 【详解】由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D； 当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A； 故选：C. 1．知识清单： (1)幂函数的定义． 函数(其中是自变量,为常数)叫做幂函数. (2)5个常见幂函数的图象及其性质； (3)幂函数的性质． (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)如果α＜0，那么幂函数在原点处无意义，其图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右侧趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴． (4)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质． 1、 作业布置 (1)整理课件题型； (2)课本P91的练习1、2、3题和习题3.3的第1题. 练习（第91页） 1．已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式． 1．设所求幂函数的解析式为．因为幂函数的图象过点，所以有， 解得，所以所求函数的解析式为． 2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）；（2）． 2．解析：（1）令，在上单调递增，且， ，即． （2）令，在上单调递减，且，，即． 3．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性． 3．解析：，且，则 ，在上单调递增． 的定义域为，关于原点对称，且， 是上的奇函数． 习题3.3（第91页） 复习巩固 1．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性． 1．解析：函数的图象如图， 因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 为偶函数． 函数在上单调递减，在上单调递增． 综合运用 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比． （1）写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）． 2．解析：（1）由题意得． （2）将代入，得，故流量速率的表达式为． （3）当时， 3．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明． 3．解析：利用函数解析式列出表格． … 1 2 … … 1 4 4 1 … 根据表中的数据做出函数图象如图所示： 通过观察图象得函数的定义域为，值域为， ∵函数的定义域关于原点对称，且，为偶函数． 函数在上单调递增，在上单调递减． 证明：，且，则 ，， ，在上单调递增，同理可证：在上单调递减． 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 幂函数 1. 概念：（为常数） · 特征：系数为1，底数为自变量 · 与指数函数的区别：底数与指数的角色 1. 五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性（） 奇 递增 偶 递增 奇 递增 非奇非偶 递增 ${x x eq0}$ ${y y eq0}$ 1. 应用 例1：求解析式 例2：比较大小 例3：解不等式 ( 3 .3幂函数 幂函数概念例1例2例3 幂函数的图像性质 ) 本节课通过实例抽象概念、绘图归纳性质、应用巩固方法，符合学生认知规律。但学生在区分幂函数与指数函数时仍有困难，需通过对比练习强化；对于为分数或负数时的性质，可适当拓展以加深理解。此外，比较不同指数和底数的幂值大小时，学生对中间量的选择能力不足，需在后续教学中增加实例训练。整体教学注重学生主体性，通过动手操作和合作探究，有效提升了学生的数学素养。 学科网（北京）股份有限公司 $$