3.2.2 奇偶性（第2课时）奇偶性的应用 （导学案）数学人教A版2019必修第一册

3.2.2奇偶性（第2课时）奇偶性的应用 导学案 1. 掌握利用奇偶性求函数解析式的方法，能根据函数在某一区间的解析式，求出其对称区间上的解析式。 2. 理解奇偶性与单调性的关系（奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反），能利用该关系比较函数值大小。 3. 能结合奇偶性与单调性解抽象函数不等式，掌握“去f”的步骤（利用单调性转化为自变量不等式，兼顾定义域）。 4. 经历从具体问题到抽象模型的转化过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重点：1.利用奇偶性与单调性比较大小.2.利用奇偶性与单调性解不等式． 教学难点：奇偶性与其他性质的综合应用． 第一环节 自主学习 知识梳理 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为 . 温故知新，导入新知 1. 回顾奇偶性定义：提问：“奇函数和偶函数的定义分别是什么？其图象有何特征？”（奇函数f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称；偶函数f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）。 2. 情境问题：已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x，如何求x<0时的解析式？引出本节课主题——奇偶性的应用。 导入1：手机“镜像滤镜” 教师现场拍一张学生侧身照 → 镜像翻转 → 原图与镜像合成一张“对称脸”。 提问：如果已知左半边脸的函数解析式，能否 10 秒写出右半边？ 导入2：快递费“对称优惠” 某电商对会员实行“买多少减多少”奇函数优惠：买 x 元减 f(x) 元，且 f(−x)=−f(x)。 已知 x>0 时 f(x)=x²−2x，求 x<0 时优惠规则。 第二环节 合作探究 探究点1：根据函数的奇偶性求函数的解析式 总结步骤：“求谁设谁→转化为已知区间→利用奇偶性推导→补充特殊点”。 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 例1　 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【变式】已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x+3，求f(x)的解析式。 探究点2：奇偶性与单调性的关系及应用 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 规律总结： 奇函数：在对称区间上单调性一致（如f(x)=x在(-∞,0)和(0,+∞)上均递增）； 偶函数：在对称区间上单调性相反（如f(x)=x²在(-∞,0]上递减，在[0,+∞)上递增）。 比较大小： 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 【变式】已知f(x)是奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，比较f(-0.5)、f(-1)、f(0)的大小。 探究点3：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 1.(多选题）偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3.已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么（   ）    A． B． C． D． 4.已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 6．（多选题）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 8．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 9．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 10.设函数为奇函数，则 ． 1．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2018·四川雅安·一模）偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[-2,2] C．[0,4] D．[-4,4] 3．函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为 ． 4.（多选题）已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．若，则 C． D．若，则 1．知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2奇偶性（第2课时）奇偶性的应用 导学案 1. 掌握利用奇偶性求函数解析式的方法，能根据函数在某一区间的解析式，求出其对称区间上的解析式。 2. 理解奇偶性与单调性的关系（奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反），能利用该关系比较函数值大小。 3. 能结合奇偶性与单调性解抽象函数不等式，掌握“去f”的步骤（利用单调性转化为自变量不等式，兼顾定义域）。 4. 经历从具体问题到抽象模型的转化过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重点：1.利用奇偶性与单调性比较大小.2.利用奇偶性与单调性解不等式． 教学难点：奇偶性与其他性质的综合应用． 第一环节 自主学习 知识梳理 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 温故知新，导入新知 1. 回顾奇偶性定义：提问：“奇函数和偶函数的定义分别是什么？其图象有何特征？”（奇函数f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称；偶函数f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）。 2. 情境问题：已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x，如何求x<0时的解析式？引出本节课主题——奇偶性的应用。 设计意图：通过回顾旧知和情境问题，自然过渡到奇偶性的具体应用，明确本节课的研究方向。 导入1：手机“镜像滤镜” 教师现场拍一张学生侧身照 → 镜像翻转 → 原图与镜像合成一张“对称脸”。 提问：如果已知左半边脸的函数解析式，能否 10 秒写出右半边？ 导入2：快递费“对称优惠” 某电商对会员实行“买多少减多少”奇函数优惠：买 x 元减 f(x) 元，且 f(−x)=−f(x)。 已知 x>0 时 f(x)=x²−2x，求 x<0 时优惠规则。 第二环节 合作探究 探究点1：根据函数的奇偶性求函数的解析式 总结步骤：“求谁设谁→转化为已知区间→利用奇偶性推导→补充特殊点”。 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 例1　 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【解析】设x<0，则－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 【变式】已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x+3，求f(x)的解析式。 ① 设未知区间变量：设x<0，则-x>0； ② 代入已知解析式：f(-x)=(-x)²-2(-x)+3=x²+2x+3； ③ 利用奇偶性转化：因f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x²-2x-3； ④ 补充特殊点：f(0)=0（奇函数在原点有定义）。 结论：²²。 总结步骤：“求谁设谁→转化为已知区间→利用奇偶性推导→补充特殊点”。 【感悟提升】求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 探究点2：奇偶性与单调性的关系及应用 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 规律总结： 奇函数：在对称区间上单调性一致（如f(x)=x在(-∞,0)和(0,+∞)上均递增）； 偶函数：在对称区间上单调性相反（如f(x)=x²在(-∞,0]上递减，在[0,+∞)上递增）。 比较大小： 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 【解析】∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(－1)<f(－0.5)<f(0)． 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【变式】已知f(x)是奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，比较f(-0.5)、f(-1)、f(0)的大小。 【解析】因f(x)是奇函数且递增，故f(-1)<f(-0.5)<f(0)（转化为比较f(1)、f(0.5)、f(0)，利用递增性）。 反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 探究点3：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)在[－2,2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 总结步骤： 1. 判断函数奇偶性和单调性； 2. 将f(x₁)<f(x₂)转化为自变量的不等式（注意单调性方向）； 3. 结合定义域列出不等式组求解。 反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式． ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． 1.(多选题）偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像是否关于轴对称判断. 【详解】A的图像关于轴对称，故A符合题意. BCD的图像都不关于轴对称，故BCD均不符合题意. 故选：A. 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是定义域为的奇函数，，且当时，，可得时，的解析式. 【详解】解：由题意：是定义域为的奇函数，故， 当时，，则当时，， ，由，故， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，相对不难，注意运算准确. 3.已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】先由图象可知，再根据函数是奇函数，判断选项. 【详解】由图可知，因为函数是奇函数，所以， 即. 故选：D. 4.已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【解析】根据偶函数得，，再根据单调性即可判断. 【详解】因为是偶函数，，， 又在上单调递减，， ，即. 故选：C. 5.若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意得到函数在区间为增函数，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数， 则函数在区间也为增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 故选：A. 6．（多选题）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 7．（多选题）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据单调性与奇偶性可得答案 【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误； 关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确； 关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误； 关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：BD. 8．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、一次函数的图像和性质、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】利用奇函数性质化不等式为，再由单调性转化求解. 【详解】函数是奇函数，且是上的增函数， 则不等式化为，从而，即， 令，依题意，，，则有，解得， 所以实数 m 的取值范围是. 故答案为： 9．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】由奇偶性和单调性求解即可 【详解】为奇函数， ∴， 又∵ ∴，，， 又∵，且函数在区间上是增函数， ∴， ∴，， 故选：A. 10.设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 1．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 2．（2018·四川雅安·一模）偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[-2,2] C．[0,4] D．[-4,4] 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用 【分析】由题意不等式可化为，又可得函数在上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为和到对称轴的距离的大小的问题处理． 【详解】∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增， ∴函数f(x)在上单调递减． 由题意，不等式可化为． 又函数的图象关于对称， ∴，即， 解得， ∴x的取值范围是[0,4]． 故选C． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化． 3．函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数奇偶性，得到，且在上单调递增，进而可将所求不等式化为或，根据函数单调性求解，即可得出结果. 【详解】解：因为是奇函数，且，在上单调递增，所以，且在上单调递增． 所以不等式可化为或 即或， 解得或． 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或. 4.（多选题）已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数基本性质的综合应用 【分析】根据分别取特殊情况验证各选项即可. 【详解】选项A：因为，令可得，解得．令可得，所以，故为偶函数，A正确； 选项B：令可得，所以， B错误；选项C:令可得，C正确； 选项D：令可得，所以，所以，D正确． 故选：ACD． 1．知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$