3.2.2 奇偶性（第2课时）奇偶性的应用 （教学设计）数学人教A版2019必修第一册

3.2.2奇偶性（第2课时）奇偶性的应用 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第三章“函数的概念与性质”中3.2.2节的第2课时“奇偶性的应用”。内容包括利用奇偶性求函数解析式、结合奇偶性与单调性比较函数值大小、解不等式，以及奇偶性与其他性质的综合应用。 内容解析 奇偶性作为函数的核心性质之一，其应用是对奇偶性概念的深化与拓展，体现了函数性质的综合运用能力。本节课是在学生掌握奇偶性定义及判断方法的基础上，进一步研究其在解决实际问题中的作用： 利用奇偶性求解析式的核心是“对称区间转化”，即已知函数在某一区间的解析式，通过“设未知区间变量→转化为已知区间变量→利用奇偶性公式f(-x)=±f(x)推导”的步骤，求出对称区间的解析式。 奇偶性与单调性的结合是重点，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，这一规律为比较大小、解不等式提供了依据。 综合应用中，需先判断函数的奇偶性和单调性，再将抽象不等式转化为具体不等式（组），同时注意定义域的限制，体现逻辑推理的严谨性。 教学目标 1. 掌握利用奇偶性求函数解析式的方法，能根据函数在某一区间的解析式，求出其对称区间上的解析式。 2. 理解奇偶性与单调性的关系（奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反），能利用该关系比较函数值大小。 3. 能结合奇偶性与单调性解抽象函数不等式，掌握“去f”的步骤（利用单调性转化为自变量不等式，兼顾定义域）。 4. 经历从具体问题到抽象模型的转化过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目标解析 达成上述目标的标志是： 1. 学生面对“已知奇函数f(x)在x>0时的解析式，求x<0时的解析式”问题时，能按“设x<0→则-x>0→代入已知解析式得f(-x)→利用f(x)=-f(-x)推导”的步骤求解，并能处理f(0)=0的特殊情况。 2. 学生能根据函数奇偶性判断其在对称区间的单调性（如已知偶函数f(x)在[0,+∞)上递增，则能判断其在(-∞,0]上递减），并利用此规律比较不同区间上的函数值（如比较f(-3)与f(2)的大小，转化为比较f(3)与f(2)）。 3. 学生能解决形如“f(x₁)<f(x₂)”的抽象不等式：先判断f(x)的奇偶性和单调性，将不等式转化为“x₁<x₂”（偶函数）或“x₁<x₂”（奇函数，单调递增），同时结合定义域列出不等式组求解。 《奇偶性》内容选自人教版A版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用. 1. 学生已掌握奇偶性的定义和判断方法，能区分奇函数和偶函数，但对“利用奇偶性求解析式”的步骤不够熟练，易忽略x=0处的函数值（如奇函数f(0)=0）。 2. 学生对“奇偶性与单调性的关系”理解存在困难，尤其是偶函数在对称区间上的单调性相反这一规律，可能导致比较大小或解不等式时出错（如误将f(-3)等同于f(3)的单调性）。 3. 解抽象函数不等式时，学生容易忽略定义域的限制，或无法将“f(x₁)<f(x₂)”转化为自变量的不等式，缺乏“去f”的思路。 4. 含参数的问题中，学生对参数的分类讨论意识不足，可能遗漏参数的取值范围。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.利用奇偶性与单调性比较大小.2.利用奇偶性与单调性解不等式．教学难点：奇偶性与其他性质的综合应用． 知识点　　函数奇偶性与单调性的关系 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性相同． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N． 以上a，b符号相同． （一）温故知新，导入新知 1. 回顾奇偶性定义：提问：“奇函数和偶函数的定义分别是什么？其图象有何特征？”（奇函数f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称；偶函数f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）。 1. 情境问题：已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x，如何求x<0时的解析式？引出本节课主题——奇偶性的应用。 设计意图：通过回顾旧知和情境问题，自然过渡到奇偶性的具体应用，明确本节课的研究方向。 导入1：手机“镜像滤镜” 教师现场拍一张学生侧身照 → 镜像翻转 → 原图与镜像合成一张“对称脸”。 提问：如果已知左半边脸的函数解析式，能否 10 秒写出右半边？ 导入2：快递费“对称优惠” 某电商对会员实行“买多少减多少”奇函数优惠：买 x 元减 f(x) 元，且 f(−x)=−f(x)。 已知 x>0 时 f(x)=x²−2x，求 x<0 时优惠规则。 探究点1：根据函数的奇偶性求函数的解析式 总结步骤：“求谁设谁→转化为已知区间→利用奇偶性推导→补充特殊点”。 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 例1　 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【解析】设x<0，则－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 【变式】已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x+3，求f(x)的解析式。 ① 设未知区间变量：设x<0，则-x>0； ② 代入已知解析式：f(-x)=(-x)²-2(-x)+3=x²+2x+3； ③ 利用奇偶性转化：因f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x²-2x-3； ④ 补充特殊点：f(0)=0（奇函数在原点有定义）。 结论：²²。 总结步骤：“求谁设谁→转化为已知区间→利用奇偶性推导→补充特殊点”。 【感悟提升】求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 探究点2：奇偶性与单调性的关系及应用 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 规律总结： 奇函数：在对称区间上单调性一致（如f(x)=x在(-∞,0)和(0,+∞)上均递增）； 偶函数：在对称区间上单调性相反（如f(x)=x²在(-∞,0]上递减，在[0,+∞)上递增）。 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 答案　B 【解析】∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(－1)<f(－0.5)<f(0)． 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【变式】已知f(x)是奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，比较f(-0.5)、f(-1)、f(0)的大小。 解析：因f(x)是奇函数且递增，故f(-1)<f(-0.5)<f(0)（转化为比较f(1)、f(0.5)、f(0)，利用递增性）。 反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 探究点3：利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)在[－2,2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 总结步骤： 判断函数奇偶性和单调性； 将f(x₁)<f(x₂)转化为自变量的不等式（注意单调性方向）； 结合定义域列出不等式组求解。 反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式． ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． 1.已知偶函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【知识点】由对称性研究单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数定义结合在上单调递增，可判断在上单调递减，即可判断结果． 【详解】是偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减，． 故选：A 2.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【解析】根据偶函数的性质可得，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，当时，是减函数，因为，所以 故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x转化为同一单调区间，再进行判断即可. 3.已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【解析】根据函数是奇函数和在上单调递减，得到在连续且单调递减可得答案. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于对称， 且在上单调递减，所以在单调递减， 又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减， 由于，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出在连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解. 【详解】函数不是奇函数，故A不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确； 的图象如图： 所以函数是奇函数且是增函数. 故选：D 5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义和函数单调性判断选项即可. 【详解】对于A选项，，故函数为奇函数，在上是减函数， 不满足题意，故错误； 对于B选项，是二次函数，满足， 故是偶函数，在上单调递减，故符合题意，正确； 对于C选项，，故函数为奇函数，在上是增函数， 不满足题意，故错误； 对于D选项，，故函数为奇函数， 在上是增函数，不合题意，故错误； 故选：B 6.已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】B 【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可. 【详解】是偶函数，当时，， 则. 故选：B 7.若函数为奇函数，则=（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得. 【详解】∵为奇函数，∴，得． 故选：A. 8.(多选题）函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可. 【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的增区间是和. 故选：BC. 9.(多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可． 【详解】A：是偶函数，故A错误； B：是奇函数，且在是增函数，故B正确； C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误； D：是奇函数，且在是增函数，故D正确. 故选：BD. 10.设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式 的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】由图象得出上的解，再由偶函数性质得出的解，合并即得． 【详解】试题分析：由函数图象知在时，不等式的解为， 又是偶函数，其图象关于轴对称， 因此在时，不等式的解为， 所以不等式的解为． 故选：B． 1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是定义域为的奇函数，，且当时，，可得时，的解析式. 【详解】解：由题意：是定义域为的奇函数，故， 当时，，则当时，， ，由，故， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，相对不难，注意运算准确. 2..已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ） A．4与3 B．3与2 C．4与2 D．7与4 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】令，， ∴，∴为奇函数， 设的最大值为t，最小值为， ∴，，可得， ∵，∴2b为偶数， 故选：C． 3.（多选题）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据单调性与奇偶性可得答案 【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误； 关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确； 关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误； 关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：BD. 4.（2018·四川雅安·一模）偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[-2,2] C．[0,4] D．[-4,4] 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用 【分析】由题意不等式可化为，又可得函数在上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为和到对称轴的距离的大小的问题处理． 【详解】∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增， ∴函数f(x)在上单调递减． 由题意，不等式可化为． 又函数的图象关于对称， ∴，即， 解得， ∴x的取值范围是[0,4]． 故选C． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化． 1．知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域． 教材第58页 --- 习题3.3 --- 第5,6,7题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 ( 3 .2 . 2奇偶性 奇偶性概念 例1 例2 例3 奇偶函数的特点 ) 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 • 学生能否在构造方程组时自觉写出“−x 代换”？ • 解不等式环节是否出现“忘写端点”？ • 实践作业中，LOGO 设计是否真正用到了函数对称性？ 学科网（北京）股份有限公司 $$