3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值 题型一：利用图象求函数最值 1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　) A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6 【答案】B 【知识点】奇偶函数对称性的应用、求函数的单调区间 【详解】 ∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数， ∴函数在[-7，0]上是减函数. 又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)， ∴最大值为f(7)=f(-7)=6. 故选B. 2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)． A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、利用函数单调性求最值或值域 【详解】试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减． 所以函数在处取的最大值为． 又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确． 考点：1函数图像；2函数单调性求最值． 【方法点晴】本题主要考查函数图像及最值问题，属容易题．沿轴正方向图像上升的对应的区间为函数的增区间， 沿轴正方向图像下降的对应的区间为函数的减区间．根据函数的单调区间即可得函数的最值． 3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据二次函数的对称性，得到且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 4.函数在区间上的值域为 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】函数可变形为：，易得在的单调性，即可求出值域. 【详解】由题：，函数在单调递减，在单调递减， 可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象： 所以函数在递减，在递减，，， 所以函数的值域为. 故答案为： 【点睛】此题考查函数单调性与值域问题，此类问题，一方面可以通过已学函数平移变换得到，另一方面直接由单调性求值域需注意考虑函数渐近线问题. 题型二：利用单调性求函数最值 1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（    ） A．2 B． C． D．－ 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由解析式得函数为递减函数，根据单调性可求得最小值. 【详解】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值，属于基础题. 2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】利用的单调性将区间值代入可求得答案. 【详解】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1， 时有最小值，即B=， 则, 故选：A. 【点睛】本题考查反比例函数的单调性及最值，属于基础题. 3.函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】把函数的解析式进行变形，利用反比例型函数的单调性，求出函数的最小值. 【详解】由知，在上是增函数，所以在上递增，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了反比例型函数的单调性，考查了数学运算能力. 4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　) A．5 B．8 C．20 D．无法确定 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数的最值 【详解】∴或∴k＝20.选C. 点睛：利用函数的单调性求解函数最值的步骤 (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 题型三：求二次函数的最值 1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合单调性，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为， 显然不合题意； 当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故函数的最大值为， 因为，令，即，即， 解得或， 又因为，所以. 故选： D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质及其应用，其中解答熟记二次函数的图象与性质，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值 【详解】试题分析：设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为. 考点：1、函数的解析式；2、二次函数的最值. 3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（    ） A．4 B． C．与的取值有关 D．不存在 【答案】BCD 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上， 则该函数在上单调递减， 所以， 故选：BCD. 4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】BC 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数的性质得到方程，解得即可． 【详解】解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上， 又在区间上的最小值为， 所以当时，，解得（舍去）或； 当，即时，，解得（舍去）或； 当，即时，． 综上，的取值集合为． 故选：BC． 题型一：判断二次函数的单调性和求解单调区间 1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由已知二次函数图像开口向上，要满足题意只需对称轴小于等于-2即可. 【详解】函数,二次函数图像开口向上， 若在区间上递增， 则对称轴x=-a, 即a 故选D. 【点睛】本题考查二次函数图像的性质，考查函数在某个区间上的单调问题，属于简单题. 2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为， 由于在上是减函数，所以. 故选：B 3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为， 由于在上是减函数，所以. 故选：B 4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】分析函数的单调性，求得在R上的最小值为，且，分类讨论当时，求得的范围；当时，求得的范围，即可求得的范围，进而得解. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为，且， （1）当时，由的值域为，可知必有 所以且，解得，此时 （2）当时，由的值域为，可知必有 所以且，解得，此时 综上可知， 所以的可能的取值为 故选：BCD 题型二：比较函数值的大小关系 1.已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据单调性的定义判断即可. 【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 2.已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小. 【详解】因为， 所以， ， 因为在上是增函数，且， 所以，即. 故选：B. 3.函数是上的增函数且，则（    ） A． B． C． D．， 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】根据单调性判断． 【详解】若，则，此时满足，所以ABD错误； 当时，，.∵函数是上的增函数， ∴，，∴. 故选：C. 4.（多选）设函数在上为减函数，则（    ） A． B． C． D． E． 【答案】BE 【知识点】作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】取特殊值，可判断ACD选项；利用作差法比较和、和的大小，进而结合函数单调性即可判断BE选项. 【详解】由题意，函数在上为减函数. 当时，，，， 则，，，故ACD错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于E，因为，所以，故E正确. 故选：BE. 题型三：函数最值的实际应用 1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性、抽象函数的值域 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】先判断函数单调性并利用其比较函数值大小，再根据偶函数转化即得结论. 【详解】∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有， ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减， 又∵， ∴， 又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）. ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于基础题. 3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　). A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别 【解析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小， 故函数的图象越来越平缓， 故选：D. 【点睛】本题考查实际问题中的函数的图象的识别，主要考查函数值的变化快慢与函数图象陡峭程度的对应关系，考查了学生数形结合的能力，本题属于中档题. 4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.    给出以下4个论断，其中正确的是（　　） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点只有一个进水口进水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【知识点】图象法表示函数、函数图象的应用 【分析】由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，根据进出水的情况，结合丙图的蓄水量变化来解答即可. 【详解】由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2， 对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确； 对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确； 对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误． 故选：AC 1.已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】因为， 由于在上单调递增，则在上单调递减， 故在上单调递增， 所以． 故选：D． 2.设函数，则（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】通过分析函数的单调性，即可求出函数有无极值. 【详解】由题意， ∵在上单调递增， 3.函数在上是增函数，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【解析】由题知，对进行分类讨论，使满足在上是增函数，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】当时，，满足题意. 当时，在上是增函数，满足，解得：. 当时，在上是增函数，满足，解得：. 综上所述：. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，分类讨论为解题的关键，属于中档题. 4.（多选题）下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 【答案】AD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据一次函数的单调性求出最值即可. 【详解】解：当时，函数为减函数， 所以当时，，当时，，故A正确，B错误； 当时，函数为增函数， 所以当时，，当时，，故C错误，D正确. 故选：AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值 题型一：利用图象求函数最值 1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　) A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6 2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)． A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2 3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.函数在区间上的值域为 题型二：利用单调性求函数最值 1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（    ） A．2 B． C． D．－ 2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（    ） A． B． C．1 D．-1 3.函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　) A．5 B．8 C．20 D．无法确定 题型三：求二次函数的最值 1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　) A． B． C． D． 3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（    ） A．4 B． C．与的取值有关 D．不存在 4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 题型一：判断二次函数的单调性和求解单调区间 1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：比较函数值的大小关系 1.已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3.函数是上的增函数且，则（    ） A． B． C． D．， 4.（多选）设函数在上为减函数，则（    ） A． B． C． D． E． 题型三：函数最值的实际应用 1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　). A． B． C． D． 4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.    给出以下4个论断，其中正确的是（　　） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点只有一个进水口进水 D．4点到6点不进水也不出水 1.已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 2.设函数，则（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 3.函数在上是增函数，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.（多选题）下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 学科网（北京）股份有限公司 $$