3.2.1 单调性与最大(小)值（第1课时） 函数的单调性 （教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 3 章 3.2 函数的基本性质 人教A版2019必修第一册 3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时） 函数的单调性 学习目标 1.理解函数单调性的概念，能结合具体函数图像描述函数的单调区间和单调性特征。 2.掌握用定义证明函数单调性的基本步骤，能对简单函数的单调性进行证明。 3.能运用函数的单调性解决比较函数值大小、求函数最值等实际问题，提升逻辑推理和数学运算核心素养。 目录 CATALOG 01.函数单调性的定义及判断和证明 03.题型强化训练 02.利用函数单调性或图像求最值 04.小结及随堂练习 01 函数单调性的定义及判断和证明 单调性与最大（小）值（第1课时） 导入新知：电梯里的“单调”体验 电梯从1楼到10楼的楼层显示 “显示屏的数字如何变化？ 是否存在某一层突然下降？” 导入新知：奶茶店的“甜度公式” 奶茶店海报： “每多一勺糖，甜度升一级。” “这句话如何用数学表达？ 若甜度函数为S(n)=n， 会存在‘加两勺反而更淡’的情况吗？’’ 导入新知 前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律． 因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的单调性求参数值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知二次函数单调区间求参数值或范围 学习新知 在初中，我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调．接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质． 观察函数y=x，y=-x，y=x2的图像，分析自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 学习新知 先研究 f (x)=x2的单调性． 图像特征： 从左往右看，y轴左侧部分是下降的，y轴右侧部分是上升的； 两变量的变化关系： 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大； 符号语言描述： 任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1<x2时，有f (x1)>f (x2)． 这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的． 任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1<x2时，有f (x1)<f (x2)． 这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．               学习新知             y=-x2 y=|x| 函数f (x) =|x|，f (x) = -x2各有怎样的单调性？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求函数的单调区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数的单调性求参数值 学习新知 设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1， x2∈D，且x1<x2， 如果都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上单调递增； 如果都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上单调递减． x y 0 应用新知 特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 我们说一个函数f(x)的增函数或减函数，一定说在定义域上某个区间上的增（减）函数． 如果函数y＝f (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求函数的单调区间、函数图象的变换 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的单调性解不等式 知识总结1 f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]<0 应用新知 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2 ∈A，当x1<x2时都有 f (x1)<f (x2)，我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗？ 你能举例说明吗？ 【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]， ∀x1，x2 ∈[1，2]且x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)， 但f (x)在区间[1，4]不是单调函数． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的单调性求参数值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 总结新知   单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 区间D为f(x)的单调递增区间. ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)＞f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 区间D为f(x)的单调递减区间. 图示 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 单调性是局部性质 单调性的定义： 总结新知1 【特别提醒】 1．单调区间D⊆定义域I； 2．函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间 端点不属于定义域则只能开； 3．遵循最简原则，函数单调区间应尽可能大； 4．函数在区间[a,b]上单调递增（减），在区间[c,d]上也单调递增 （减）， 该函数在[a,b]∪[c,d]上不一定单调递增（减），故在作答函数的单调递增（减）区间的时候通常不能用“∪”这个符号． 02 利用函数单调性或图像求最值 单调性与最大（小）值（第1课时） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 定义法判断或证明函数的单调性 学习新知 【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性． 【分析】根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2时，f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2). 根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系. 证明： 学习新知 【例1】根据定义,研究函数 f(x)=kx+b(k≠0) 的单调性． 学习新知 学习新知 【例2】物理学中的玻意耳定律 ,(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明． 【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.   学习新知 总结新知 用定义证明函数单调性的步骤： 应用新知 【例3】根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增． 假设 作差 变形 定号 定论 应用新知 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间. ②定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解. (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 总结新知3 用定义证明函数的单调性的步骤: （1）设x1，x2是某个区间上任意两个数且x1＜x2; （2）作差： f(x1)－f(x2) ; （3）化简变形： ①分解因式, 得出因式乘积；②配成同号的式子和； （4）判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）作结论． 03 题型强化训练 单调性与最大（小）值（第1课时） 能力提升 题型一　证明或判断函数的单调性 定义法证明或判断函数单调性的步骤 【感悟提升】 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． (2)定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． (3)图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． (4)单调区间必须是函数定义域的子集，一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． 能力提升 题型二 利用图象确定函数的单调区间 能力提升 题型三　函数单调性的应用 能力提升 题型三　函数单调性的应用 04 小结及随堂练习 单调性与最大（小）值（第1课时） 课堂小结1 课堂小结2 1、增函数与减函数的定义: 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2 ， 如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增; 如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减. 2、判断函数单调性的方法 （1）图象法：看图象从左向右是上升还是下降 （2）用定义证明函数单调性的步骤： ①取值 ②作差③变形④定号⑤结论 （3）性质：①若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递减(增）.②若函数y＝f(x)在区间D上单调递增(减),则函数y＝-f(x)在区间D上单调递减(增）. 3、函数在某区间单调递增（或递减），则该区间为函数的单调递增（或递减）区间的子区间. 课堂小结3 （1）图象法: 看图象从左向右是上升还是下降； （2）定义法； （3）性质： 若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增（减），则函数 y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递增（减）． 若函数y＝f(x)在区间D上单调递增（减），则函数y＝-f(x)在 区间D上单调递减（增）． 判断函数单调性的常用方法 作业 课本第85--86页 习题3.2 第1,2,3,8题； 单调性与最大（小）值（第1课时） 练习（第79页） 1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系． 由题中图象先上升后下降可知，工人数在一定范围内时，生产效率随着工人数的增加而提高，而当工人数超过某一数量后，随着工人数的增加，生产效率反而降低． 练习（第79页） 练习（第79页） 练习（第79页） 练习（第79页） 练习（第79页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】若函数f(x)＝(3a＋2)x－5在R上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】依题意得 ， 所以 . 故选D. 【练习2】设函数 在区间 上是减函数，则实数 的最大值为 . 【解析】因为二次函数 对称轴为 ，开口向上， 故其减区间为 ，而 在区间 上是减函数， 故 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 即实数 的最大值为-6. 故答案为：-6. 【练习3】函数 的递增区间是 . 【解析】 ，其图象开口向下； 图象的对称轴是直线 ，故其递增区间是 . 故答案为: 【练习4】若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．[3，4] 【解析】根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝ ， 若其在（1，3）是单调函数，则 ≤1或 ≥3， 解可得：a≤ 或a≥ ，即实数 的取值范围是（﹣∞， ，+∞）； 故选：A． 【练习5】已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　) A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)＞25 【解析】函数为开口向上二次函数，对称轴为 ， 满足在[－2，＋∞）上是增函数 ，故选A. 【练习6】函数f (x)＝1－ （   ） A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 【解析】f (x)图象可由y＝－ 图象沿x轴向右平移一个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到，如图所示．   故选：B 【练习7】若函数 的定义域为 ，且为增函数， ，则a的取值范围是 . 【解析】 的定义域为 ，且为增函数， 又 ， ，即 ， 的取值范围是 . 故答案为: 【练习8】已知定义在[1,4]上的函数 是减函数，则满足不等式 的实数 的取值范围为 . 【解析】由题意，可得: .∵ 在定义域[1,4]上单调递减， ∴ ，解得－1≤a≤0， ∴实数a的取值范围为[－1,0]. 【练习9】已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由于函数 是 上的减函数，则函数 在 上为减函数，所以， ，解得 .且有 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 .故选：A. 【练习10】（多选题）如果函数 在 上是增函数，对于任意的 ，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数单调性的定义可知，若函数 在给定的区间上是增函数， 则 与 同号，由此可知，选项A，B正确； 对于选项C，D，因为 的大小关系无法判断， 则 的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.故选：AB ②当 时， 即 ①当 时， 因为 ，所以 ． 所以 是减函数． 所以 是增函数． ，且 ，则 即 【变式1】证明函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增． 【解析】　设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－eq \f(1,x1)－x2＋eq \f(1,x2) ＝x1－x2＋eq \f(x1－x2,x1x2)＝eq \f(x1－x2x1x2＋1,x1x2)， 因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， 所以x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. 作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． 定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4) 结论：根据定义确定单调性． 又 ， 所以，函数 是减函数． ． 所以 ，即 ． ； 即当体积 减小时，压强 将增大． 证明： ，且 ，则 因为 ，且 ，所以 【变式2】求证：函数f(x)＝－eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上单调递增． 【证明】∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0， 因为f(x1)－f(x2)＝－eq \f(1,x1)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)－1))＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＝eq \f(x1－x2,x1x2)， 由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)＝－eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上单调递增． 证明或判断函数单调性的步骤 所以 在区间 上单调递增． 证明：设 ，且 ，则 所以 ，即 ． 因为 EMBED Equation.DSMT4 ．所以 【变式3】　函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． 【证明】∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2) ＝(x1－x2)＋eq \f(4（x2－x1）,x1x2) ＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－4）,x1x2). ∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． 【练习1】已知函数f(x)＝eq \f(1,x2－1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． 【解析】(1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}． (2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．理由如下： ∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2,1)eq \f(1,x－1) －2,2)eq \f(1,x－1) ＝2,2)eq \f(（x－1）－（xeq \o\al(2,1)－1）,（xeq \o\al(2,1)－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) ＝2,1)eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,（x－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) . 因为xeq \o\al(2,1)－1>0，xeq \o\al(2,2)－1>0，x2＋x1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 【练习2】设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3，－4≤x<0，,－x＋3，x≥0，)) 画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间． 【解析】函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的定义域为[－4，＋∞)， 值域为(－∞，3]，单调递增区间为(－2，0)， 单调递减区间为(－4，－2)和(0，＋∞)． 【练习4】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2， 试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． (2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 【解析】（1）由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，故f(1)＝f(3)，由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)． （2）由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，))解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)， 所以x－2<1－x，解得x<eq \f(3,2)，② 由①②得1≤x＜eq \f(3,2). 所以x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 【感悟提升】利用单调性比较大小或解不等式的方法 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时， 要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． （2）利用抽象函数的单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b（a>b），,m≤a≤n，,m≤b≤n.)) ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． $$