2.5一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系；（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 知识回顾 1.一元二次方程的求根公式： . (b2-4ac ≥0) 2.一元二次方程根的判别式： . 3.一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系： 当b2-4ac＞0时,方程有 的实数根； 当b2-4ac=0时,方程有 的实数根； 当b2-4ac<0时,方程 实数根. b2－4ac 两个不相等 两个相等 没有 , 情境引入 问题：通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式． 除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？ 新知探究 探究一：探索一元二次方程的根与系数的关系 做一做 1.解下列方程： （1）x2-2x+1=0; (2)x2-x-1=0; (3)2x2-3x+1=0. 解：(x-1)2=0 ∴ x1=x2=1. 解：a=1,b=-,c=-1, x= = ∴x1=，x2=. 解：a=2,b=-3,c=1, x= ∴x1=1，x2=. 你还有其他解法吗？ 新知探究 一元二次方程 两 根 两根之和(x1+x2) 两根之积(x1 · x2) x1 x2 x2-2x+1=0 1 1 x2-x-1=0 2x2-3x+1=0 1 2 1 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ -1 2.填写下表： 新知探究 3.若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 结论：如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流. 新知探究 4.通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么，你可以发现什么结论？ x1+x2= - ， x1 ·x2=. 试证明这个猜想. 证明:我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac ≥0时有两个根： ，. 于是，两根之和为 +； 两根之积为 . 新知探究 一元二次方程根与系数的关系： 知识归纳 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，那么 ，. 又叫韦达定理. 注意：满足上述关系的前提条件是 b2-4ac≥0. 新知探究 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2-4ac = 72 –4×1×6=25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2-4ac = (- 3)2 –4×2×(-2)=25>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 新知探究 探究二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 分析：首先根据根与系数的关系公式计算出x1 + x2 和x1 x2的值.然后通过对式子变形后，代入x1 + x2 和x1 x2的值求解. 解:根据根与系数的关系得：x1 + x2 ==x1 x2==-1. （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=(-1)+()+1=. （2）= 设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2). 议一议 新知探究 根与系数关系的常见的变形： 知识归纳 (1) ; (2)； (3)=. 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 新知探究 2.若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( ) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 D 典例分析 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 例1 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2 = 即x2=. 由于x1+x2=2+=, 所以k=-7. 所以方程的另一个根是，k=-7. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0. （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 例2 典例分析 又∵m≠0 ∴m的取值范围为m＞0. (2)∵方程有实数根x1,x2， ∴x1+x2=2，x1·x2=, ∵∣x1-x2∣= 1 ∴ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， ∴22-4 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． 解：(1)∵方程有实数根， ∴= b2-4ac = (-2m)2 –4·m·(m-2) =4m2-4m2+8m =8m≥0 巩固练习 基础巩固题 1.若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( ) A．－10 B．10 C．－16 D．16 A D 2.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－3 3.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1，x2，则m＋n的值是(　　) A.－10　 B.10　 C.－6　　 D.2　 A 巩固练习 基础巩固题 6.已知x1,x2是一元二次方程x2 - 4x – 5 = 0的两根，则 . 4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = . 5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = , q= . 1 -2 -3 7.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝11，x1·x2＝30，则以x1，x2为根的一元二次方程是 . x2－11x＋30＝0 巩固练习 基础巩固题 8.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4. （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系可得， 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得k=-7. （2）因为k=-7, 所以 巩固练习 基础巩固题 9.已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足＝16＋x1x2，求实数k的值． 解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0， 解得k≤. ∴实数k的取值范围为k≤. (2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1. ∵ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2， ∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0， 解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)． ∴实数k的值为－2. 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 内容 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，那么，. (又叫韦达定理) 应用 根与系数关系的常见的变形： (1) ; (2)； (3)=. 作业布置 1.必做题：习题2.8第1-3题。 2.探究性作业：习题2.8第4题。 感谢聆听! $$