圆为背景无刻度直尺作图课件2025年九年级中考数学复习

尺刻春秋描万象，规摹古今绘千章。 ------以圆为背景的无刻度直尺作图. 初中数学 艾峰标 常见类型 1 作指定角 2 作角平分线 3 作中线 4 作高线 5 作正方形或45°的角 6 作对称点 一、作指定角 【例1】如图，点A、B在⊙O上，请用无刻度直尺作出图①和图②中∠A的余角. 图① 图② 答题格式： 解，如图所示+指明所求； 虚实线要求： 辅助线用虚线，目标线用实线，该点中考不做扣分点。 作图原理分析 图①的四种作法 原理分析 ①上面两种，利用直径所对的圆周角为90°可作余角及相关的角。 ②下面两种，利用同弧所对圆周角相等进行等角转化及直径所对的圆周角为90°构造直角得其余角。 其中，利用同弧所对圆周角相等还可任意构造所求的角。 注意“一脉相承”的引导 前两种，对应第一问的前两种做法。 后两种，对应第一问的后两种做法。 一脉相承，化难为简。 【变式1】如图，点A、B、C、D均在圆O上，∠BAD=30°， ∠ABC=40°，请仅用无刻度直尺完成作图。 （1）在图①中，弦BC经过圆心，画一个80°的圆周角。 （2）在图②中，OA⊥BC，画一个70°的圆周角。 图① 图② 作法① 作法② 【参考方法】 【练1】△ABC内接于圆O，∠C=120°，请仅用无刻度直尺，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角。 （1）图①中，AC=BC (2)图②中，AC≠BC 图① 图② 【参考方法】 第①问 第②问 注：利用同弧所对圆周角相等还可任意构造所求的角。 【练2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC=120°，请仅用无刻度直尺完成下列作图 (1)在①中，AD=CD，在⊙O上作一个度数为30°的圆周角. (2)在②中，AD≠CD，在⊙O上做一个度数为30°的圆周角. 图① 图② 【参考方法】 第①问 第②问 注：利用同弧所对圆周角相等还可任意构造所求的角。 二、作角平分线 【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P为⊙O上一点，仅用无刻度直尺，分别画出图①，图②中∠P的平分线. 图① 图② 作图原理分析 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，故作角平分线，最终要找到该圆周角对应弧的中点。 具体做法有：①垂径定理找弧 的中点，得角平分线。 ②三条角平分线交于同一点，知二推一。 ③等腰+平行得角平分线。 图①∵AB=AC ∴∠APB=∠APC 故PA是∠BPC的平分线。 图②同理：根据垂径定理推论有 ∵弧BN=弧CN ∴∠BPN=∠CPN 三、作中线 图① 图② 【例3】如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，D是劣弧AC的中点，在下列图中使用无刻度直尺按要求作图。 （1）在图①中，画△ABC中AC边上的中线。 （2）在图②中，画△ABC中AB边上的中线。 作图原理分析 中线是三角形一个顶点和对边中点的连线，故作中线，最终要找到对应弦的中点。 具体做法有：①垂径定理找弦的中点，得中线。 ②三条中线交于同一点，知二画一。 ③中点+平行得中位线，找另一个中点。 图①垂径定理推论，得AC的中点。 图②利用三条中线交于同一点，知二得一，得CF. 四、作高线 图① 图② 【例4】如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的BC、AC边于D、E两点，请仅用无刻度直尺作出△ABC的三条高. 作图原理分析 高线是三角形一个顶点向对边作垂线段，故作高线，最终要作垂直。 具体做法有：①利用直径所对圆周角为90°得高线； ②三条高线交于同一点知二画一； ③等腰三角形连顶点和圆心得三线合一。 图①、图②利用直径所对圆周角为90°，得垂线，即高线。利用三条高线交于同一点，知二得一。 【练1】如图，C在半圆内，O为半圆的圆心，点D为AC的中点.请按下列要求，仅用无刻度直尺作图。 (1)在图①中作△ABC的中线AE (2)在图②中作△ABC的∠BAC的平分线AF 图① 图② 【参考方法】 延长AC交圆于G点，找弧BG的中点即可，延长OE与圆相交的Q点即为BG的中点.连接AQ交BC于F点，则AF为所求。 根据"角平分+平行得等腰"的模型，反推角平分线AF，OE//AC，△OAQ为等腰，故AF为角平分线。 【练2】如图，已知△ABC内接于⊙O ，AB≠AC，D、E分别为优弧AB、劣弧AC，的中点，仅用无刻度直尺按下列要求作图。 ①作∠BAC的平分线AM. ②画线段ON，使ON⊥BC于点N. 图① 图② 【参考方法】 ①三条角平分交于同一点，得弧BC的中点M，②根据垂径定理推论得ON. ①根据垂径定理得AB、AC的中点，三条中线知二得一可得AN、再得AM 【练3】如图，⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度直尺.根据下列条件作图：作一条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图①,AC=BC (2)直线l与⊙O相切于点P，且l //BC. 图① 图② 【参考方法】 第①问 第②问 五、作正方形或45°角 【例5】已知CD为⊙O的直径,弦AB//CD，仅用无刻度直尺，按要求画图， (1)请在图①中画一个正方形. (2)请在图②中画一个45°的角. 图① 图② 作正方形必须找两条互相垂直的直径，利用等腰梯形结构。 在第一问的基础上，如图，∠MCD或∠MDC均为45°。 作图原理分析 六、作对称点 【例6】如图，在圆O中，AB是直径，弦EF//AB.请仅用无刻度直尺完成作图。 （1）如图①，在直径AB的下方，画出D，使得△BDF是直角三角形. （2）如图②，直径AB下方有一任意点H，请在劣弧EF上画出中点P，直线AB上画出点G，使直线AB平分∠HGP. 图① 图② 作图原理分析 中心对称点，过圆心找；轴对称点，通常利用轴对称性或找等腰梯形结构进行处理。 小 结 1.作指定大小的角(余角)：①利用直径所对的圆周角为90°可作余角及相关的角。 ②利用同弧所对圆周角相等进行等角转化及直径所对的圆周角为90°构造直角得其余角。 2.作角平分线：①垂径定理找弧的中点，得角平分线；②三条角平分线交于同一点，知二推一；③应用“等腰+平行得角平分线”模型。 3.作中线：①垂径定理找弦的中点，得中线。②三条中线交于同一点，知二画一。③中点+平行得中位线，找另一个中点。 4.作高线：①利用直径所对圆周角为90°得高线；②三条高线交于同一点知二画一；③等腰三角形连顶点和圆心得三线合一。 5.作正方形或45°角：必须找两条互相垂直的直径，找等腰梯形结构. 6.作对称点：中心对称点，过圆心找；轴对称点，通常利用轴对称性或找等腰梯形结构进行处理 $$