专题03相反数与绝对值重难点题型专训（5个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题03相反数与绝对值重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 互为相反数的判断 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的结合 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值的化简问题 题型七 绝对值的非负性 题型八 绝对值方程 题型九 绝对值的几何意义 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上，已知原点左边的某一点表示的数的绝对值为6，则这个数为 ． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，且在数轴上a在b的右边，求a，b的值． 知识点二、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，求x和y的值． 知识点三、相反数 1. 相反数的定义:像3和-3，和这样只有符号不同的两个数，是互为 相反数 。 拓展 若a和b互为相反数,则a +b = 0. 2.相反数的表示方法:一般地，a和 -a 互为相反数。这里a表示任意一个数，可以是 正数 、负数 ，也可以是 0 。例如:当 a=1时，-a=-1，1的相反数是-1，同时，-1的相反数是1。 特别地，0的相反数是0。 注意： (1)因为a可以表示任意有理数,所以-a不一定是负数,应分类讨论。 例如:当a =-2时,-a =-(-2)=2,此时-a是正数而不是负数。 (2)一个数的相反数等于它本身,这个数是0。 (3)只有符号不同的两个数互为相反数. (4)相反数是成对出现的,不能单独存在. 3、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数. 4、求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“ - ”表示原数的相反数。 5、多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号，结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 6、倒数：乘积为的两个有理数互为倒数．例如：2与，与，与． 7、负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数．例如：2与，与，与． 注意：①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若a的相反数是，则 ． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 知识点四、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 知识点五、有理数的大小比较 1、利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从 小 到 大的顺序，即左边的数 大于 右边的数。 2、利用有理数的分类比较大小：一般地，正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 负数；两个负数，绝对值大的反而 小 。 3、作差法:若两数分别为a，b，a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则 a=b。 注意： 对于两个负数的大小比较,一定要先比较它们的绝对值,并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反;异号两数比较大小,正数总大于负数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）用“<”“=”或“>”填空： （1） （2） （3） （4） 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）今年第11号台风“摩羯”对文昌造成的经济损失约327亿元． 则327这个数的相反数是（    ） A．327 B． C． D． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）用式子表示“的相反数是11”正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 3．（2023七年级·全国·专题练习）（1）是 的相反数，= （2）是 的相反数，= （3）是 的相反数，= （4）是 的相反数，= 4．（23-24七年级上·河北沧州·期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【经典例题二 互为相反数的判断】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组数字中，互为相反数的是（      ）． A．-和-（+） B．-（+3）和+|-3| C．-（-3）和+（+3） D．-4和-（+4） 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列四组数中互为相反数的是(     ) A．－(+3)和+(－3) B．+(－2)和－2 C．+(－4)和－(－4) D．－(－1)和1 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）下列各组有理数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期中）下列各组有理数的大小比较中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： （1） ；（2） ；（3） ． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【经典例题四 相反数与数轴的结合】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 1．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列各数中，一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    4．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： （1）说出数a，b的正负性； （2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置； （3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？ 【经典例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出的绝对值． 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个数的数量大小叫作这个数的绝对值．那么的绝对值是（   ） A．5 B．5.0 C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值：，，，0，，． 【经典例题六 绝对值的化简问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，试化简的结果是（ ） A．0 B．a-b+c C．4a+2b+2c D．-2b+2a+2c 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式，结果为　　 A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 【经典例题七 绝对值的非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）已知，求x和y的值． 【经典例题八 绝对值方程】 【例1】（23-24九年级·贵州铜仁·学业考试）若，则（  ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“船山值”为d，例如，，则2和3关于1的“船山值”为3．若3和1关于a的“船山值”为4，求a的值为 ． 1．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）若一个数的绝对值的相反数是，则这个数是（   ) A． B． C． D．或 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知互为相反数，且，则的值为（　　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【经典例题九 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 1．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）当一个正数逐渐变小（但仍然是正数）时，下列说法正确的是（   ） A．它的绝对值逐渐变大 B．它的相反数表示的点逐渐远离原点 C．它的绝对值逐渐变小 D．它的相反数的绝对值逐渐变大 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 4．（23-24七年级上·广东河源·期中）把，0，3，，表示在数轴上，并观察数轴，直接写出绝对值小于的所有整数． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）2024年足球世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北孝感·模拟预测）一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）五个有理数中，比小的是（　　） A． B． C．0 D．1 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）海海有5张从左到右标号依次为①②③④⑤的卡片（如图），每张卡片上写着不同的数．请你按照要求，解决下列问题： (1)在上面给出的数轴上标出其余4张卡片上的数所表示的点，并将卡片上的5个数进行大小比较，用“<”连接． (2)若从5张卡片中抽取1张卡片，要使这张卡片上的数的绝对值最大，如何抽取？最大值是多少？ 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某一天，沈阳、铁岭、鞍山、大连四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是 （    ） A．沈阳 B．铁岭 C．鞍山 D．大连 2．（2025·山西朔州·模拟预测）山西省2025年初中学业水平体育考试所用排球为室内排球5号球（质量260g至280g）．如图，以270g为标准质量，检测了四个排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，因为 ， ，所以 ． 因为两个负数比较大小，绝对值大的 ，所以 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较大小： (1)和； (2)和． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（2025·辽宁沈阳·二模）我国通过嫦娥系列任务，系统研究了月球表面及极区的极端低温环境，以下是我国嫦娥系列任务及其测温（实测及预期）情况统计表： 任务名称（年份） 测量区域 测温情况 嫦娥三号（2013） 虹湾（正面） 实测，夜间最低： 嫦娥四号（2019） 南极—艾特肯盆地（背面） 实测，夜间最低： 嫦娥五号（23-24） 风暴洋地区（正面） 实测，月壤样本间接推测极区温度：以下 嫦娥七号（计划2026年） 月球南极 预期，目标最低温度：以下 下列相关温度数据，最低的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）下列选项记录了我国四个直辖市某年1月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南玉溪·二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（    ） A．吐鲁番盆地米 B．新疆天山1815米 C．珠穆朗玛峰8848米 D．玉龙雪山5596米 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三个盆地的海拔分别是，那么 盆地的地势最高（填“甲”“乙”或“丙”）． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【拓展训练一 相反数的结论综合】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知表示数a的点在数轴上的位置如下图所示． (1)若表示数a的点与表示其相反数的点相距18个单位长度，则数a是多少？ (2)在（1）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，则数b是多少？ 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）以下说法中不正确的选项是（　　） A．如果，那么 B．如果是大于1的正数，那么是小于的负数 C．一个数的相反数的相反数等于它本身 D．一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数轴上点表示，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为3，则点表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）探索研究： （1）比较下列各式的大小（填“>”“<”或“=”）． ①_____； ②_____； ③_____； ④_____． （2）通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系． （3）根据（2）中得出的结论，当时，的取值范围是__________；若，，则__________． 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）实数，，在数轴上如图所示，化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 4．（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 【例1】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与 7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= .    （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 . 【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 2．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 4．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 【例1】（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 【例二】（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 1．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．则|x-100|+|x-50|+|x+100|的最小值为 ． 4．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|=.根据 以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 . （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和. ①用代数式表示A、B两点之间的距； ②如果,求x的值. （3）直接写出代数式的最小值. 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 【例1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 1．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 1．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则m点对应的数在数轴上表示的位置在（   ） A．在原点左侧 B．在原点右侧 C．在原点 D．无法确定 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 3．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 4．（2023·浙江·模拟预测）若x为实数，则的值一定（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列数中，在带箭头的直线上距离O点最远的是（    ） A． B． C．3 D． 6．（2025·陕西西安·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）用表示两数中的较小者，用表示两数中的较大者，例如．若是互不相等的自然数，，则（   ） A． B． C． D．和都有可能 8．（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为．则以下几种说法：①若，则；②方程的整数解为．③式子的最小值为9；④若，则的最小值为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023·重庆沙坪坝·一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 13．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列四个式子：①；②；③；④．正确的是 ． 16．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知表示数的点在数轴上的位置如图①所示． (1)在数轴上表示出数的相反数的位置． (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距20个单位长度，则是多少？ (3)若数，在数轴上的位置如图②所示，试将，，，，1，，用“<”排列出来． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03相反数与绝对值重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 互为相反数的判断 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的结合 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值的化简问题 题型七 绝对值的非负性 题型八 绝对值方程 题型九 绝对值的几何意义 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点一、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上，已知原点左边的某一点表示的数的绝对值为6，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，绝对值，根据绝对值为6和在原点左边分析得出答案即可． 【详解】解：∵某一点表示的数的绝对值为6， ∴这个数是， ∵这个点在原点的左边， ∴这个数是． 故答案为： 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，且在数轴上a在b的右边，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的意义及数轴，熟练掌握绝对值的意义及数轴是解题的关键．根据绝对值的意义可求，再根据数轴上左边的数小于右边的数求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为在数轴上a在b的右边， 所以， 所以或， 即． 知识点二、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，求x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性质．即当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 知识点三、相反数 1. 相反数的定义:像3和-3，和这样只有符号不同的两个数，是互为 相反数 。 拓展 若a和b互为相反数,则a +b = 0. 2.相反数的表示方法:一般地，a和 -a 互为相反数。这里a表示任意一个数，可以是 正数 、负数 ，也可以是 0 。例如:当 a=1时，-a=-1，1的相反数是-1，同时，-1的相反数是1。 特别地，0的相反数是0。 注意： (1)因为a可以表示任意有理数,所以-a不一定是负数,应分类讨论。 例如:当a =-2时,-a =-(-2)=2,此时-a是正数而不是负数。 (2)一个数的相反数等于它本身,这个数是0。 (3)只有符号不同的两个数互为相反数. (4)相反数是成对出现的,不能单独存在. 3、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数. 4、求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“ - ”表示原数的相反数。 5、多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“-”号，结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 6、倒数：乘积为的两个有理数互为倒数．例如：2与，与，与． 7、负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数．例如：2与，与，与． 注意：①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若a的相反数是，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】∵a的相反数是， ∴． 故答案为：8． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 【答案】，9，0，， 【分析】该题主要考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数．特别地，0的相反数是0．一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是．a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零”是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的相反数是9， 0的相反数是0， 的相反数是， 的相反数是． 知识点四、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、化简绝对值和多重符号，根据相反数的定义、化简绝对值和多重符号逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义、正确化简绝对值和多重符号是解题的关键． 【详解】解：A．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； B．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； C．和，绝对值分别为和，不相等，不是相反数，不符合题意； D．，，和绝对值相等且符号相反，故互为相反数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 知识点五、有理数的大小比较 1、利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从 小 到 大的顺序，即左边的数 大于 右边的数。 2、利用有理数的分类比较大小：一般地，正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 负数；两个负数，绝对值大的反而 小 。 3、作差法:若两数分别为a，b，a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则 a=b。 注意： 对于两个负数的大小比较,一定要先比较它们的绝对值,并且明确两个负数的大小关系与它们绝对值的大小关系正好相反;异号两数比较大小,正数总大于负数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）用“<”“=”或“>”填空： （1） （2） （3） （4） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． （1）根据相反数和绝对值的性质化简后，再根据正数大于负数判断即可； （2）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小； （3）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小； （4）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：（1）， ； （2）， ； （3）， ． （4）， ． 故答案为：；；；． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 【答案】数轴表示见解析； 【分析】本题考查用数轴上的点表示数．先去括号，化简绝对值，再将各数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数从左到右依次增大，用“”连接即可． 【详解】解：，，数轴表示如下： 由图可知：． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）今年第11号台风“摩羯”对文昌造成的经济损失约327亿元． 则327这个数的相反数是（    ） A．327 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：327这个数的相反数是， 故选：C． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】（1）7，；（2） 【分析】本题考查了相反数，解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据相反数的意义求解即可； （2）根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：（1）的相反数是7，的相反数是； （2）因为2.4与互为相反数， 所以a的值是． 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）用式子表示“的相反数是11”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键．应用相反数的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：的相反数是11，用式子表示为， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2023七年级·全国·专题练习）（1）是 的相反数，= （2）是 的相反数，= （3）是 的相反数，= （4）是 的相反数，= 【答案】 +4 -4 + - -7.1 7.1 -100 100 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：由相反数的定义可知： （1）是+4的相反数，=-4 （2）是的相反数，= （3）是-7.1的相反数，=7.1 （4）是-100的相反数，=100 故答案为：+4，-4；，；-7.1，7.1；-100，100 【点睛】本题主要考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数． 4．（23-24七年级上·河北沧州·期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【答案】(1)、； (2)， 【分析】（1）由相反数的定义及两点间的距离公式可得a、b的值； （2）求出、的长即可求出a、b的值． 【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3， ∴、； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了数轴和相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【经典例题二 互为相反数的判断】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组数字中，互为相反数的是（      ）． A．-和-（+） B．-（+3）和+|-3| C．-（-3）和+（+3） D．-4和-（+4） 【答案】B 【分析】根据互为相反数两个数的和为0进行判断． 【详解】A选项：-+[-（+）]＝，故不是； B选项：-（+3）+[+|-3|]＝0，故不是； C选项：-（-3）+[+（+3）]＝6，故不是； D选项：-4+[-（+4）]＝-8，故不是； 【点睛】考查了绝对值和相反数，解题关键是掌握相反数的意义和化简绝对值符号． 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列四组数中互为相反数的是(     ) A．－(+3)和+(－3) B．+(－2)和－2 C．+(－4)和－(－4) D．－(－1)和1 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. −(+3)=−3，+(−3)=−3，相等，不是互为相反数，故本选项错误； B. +(−2)=−2，与−2相等，不是互为相反数，故本选项错误； C. +(−4)=−4，−(−4)=4，互为相反数，故本选项正确； D. −(−1)=1与1相等，不是互为相反数，故本选项错误. 故选C. 【点睛】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义. 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 【答案】C 【分析】根据相反数的概念，对每一项进行分析，即可求出正确答案． 【详解】解：A、∵-（+3）=-3，+（-3）=-3 ∴-（+3）和+（-3）不互为相反数，故本选项错误； B、∵-（+）=－， ∴－与 －（+）不互为相反数，故本选项错误； C、∵+（－0.1）=－0.1，－（－）==0.1， ∴+（－0.1）与 －（－）互为相反数，故本选项正确； D、∵+（－1）= －1，－（－）=， ∴+（－1）与 －（－）不互为相反数，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，根据绝对值的性质及相反数的定义先对各数进行化简，再根据相反数的定义进行判断即可求解，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵，， ∴是互为相反数，该选项符合题意； 、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 故选：． 4．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）下列各组有理数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的比较大小，掌握多重符号和绝对值化简是解题关键．先将多重符号和绝对值化简，然后根据有理数的比较大小方法逐一判断即可． 【详解】A．，故本选项错误； B．，，且， ，故本选项正确； C．， ，故本选项错误； D．， ，故本选项错误； 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5)5 (6) (7)①；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可； （7）根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． （7）解：①当前面有2023个负号，化简后结果是． ②当前面有2023个负号，化简后结果． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【点睛】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是有理数的比较大小，解题关键是先将多重符号和绝对值化简．先将多重符号和绝对值化简，然后根据有理数的比较大小方法逐一判断即可． 【详解】解：A．，故错误； B．，而，故正确； C．，而，所以，故错误； D． ，而，故错误． 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期中）下列各组有理数的大小比较中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将多重符号和绝对值化简，然后根据有理数的比较大小方法逐一判断即可． 【详解】解：A．，而1＞-2，所以，故错误； B．，而-3＜2，所以，故错误； C．，而，所以，故正确；     D． ，而，所以，故错误． 故选C． 【点睛】此题考查的是有理数的比较大小，解题关键是先将多重符号和绝对值化简． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号、化简绝对值，熟练掌握有理数的大小比较是解题关键． （1）先去括号，再根据正数大于负数即可得； （2）根据负数绝对值大的反而小即可得； （3）先去括号、化简绝对值，再化成同分母的分数，比较大小即可得． 【详解】解：（1），， 则， 故答案为：． （2）， 则， 故答案为：． （3），， 则， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】①．②；③．④．⑤；（1）（2），总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的意义及归纳总结规律及应用是解本题的关键．奇数个负号为负，偶数个负号为正，根据化简多重符号的方法，分别计算；再根据所得规律：奇数个负号为负，偶数个负号为正，求解（1）（2）． 【详解】解：①．②． ③．④．⑤． （1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是． （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【经典例题四 相反数与数轴的结合】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 1．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列各数中，一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先利用绝对值和相反数的定义化简各选项中的一组数，然后再根据互为相反数的定义判断即可． 【详解】解：A选项两个数均为5； B选项两个数均为5； C选项两个数相等； D选项第一个5第二个-5． 故答案为D． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟练运用相反数和绝对值的意义进行化简是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    【答案】 【分析】根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，绝对值的意义，相反数的意义计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值，相反数的意义，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： （1）说出数a，b的正负性； （2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置； （3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？ 【答案】（1）a为负数，b为正数；（2）见解析；（3）－1 010 【分析】（1）由数轴的定义，即可得到答案； （2）由相反数的定义，即可在数轴上标出相反数； （3）由相反数的定义，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵以向右为正方向，a在原点的左侧，b在原点的右侧， ∴a为负数，b为正数． （2）－a，－b的位置如图所示． （3）因为a与－a相隔2 020个单位长度， 所以a与－a都距离原点1 010个单位长度． 又因为a在原点的左侧， 所以a＝－1 010． 【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握数轴和相反数的定义进行解题． 【经典例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出的绝对值． 【答案】 【分析】根据绝对值表示数轴上点到原点的距离，即可进行解答． 【详解】解：因为到原点距离是2个单位长度，所以． 因为到原点距离是个单位长度，所以． 因为到原点距离为个单位长度，所以． 因为8到原点的距离是8个单位长度，所以． 【点睛】本题主要考查了求绝对值，解题的关键是掌握绝对值表示数轴上点到原点的距离；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个数的数量大小叫作这个数的绝对值．那么的绝对值是（   ） A．5 B．5.0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的基本性质，解题的关键是掌握“若一个数的绝对值为0，则这个数本身为0”这一核心结论． 根据绝对值的定义，绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离，距离不可能为负数，当绝对值等于0时，对应的数只能是0；因此对于，可直接得出，进而求解a的值． 【详解】解：∵，根据绝对值的性质，绝对值为0的数只有0， ∴，解得． 故答案为：1． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值：，，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【经典例题六 绝对值的化简问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 【答案】（1）>，>，>；（2） 【分析】（1）观察数轴可得：，据此进行依次判断即可. （2）根据（1）判断出的、、利用绝对值的代数意义进行化简即可. 【详解】（1）∵，∴； ∵，∴； ∵，∴. （2）     =     = 【点睛】本题主要考查了根据数轴判断正负性以及绝对值的化简，熟练掌握相关概念是解题关键. 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，试化简的结果是（ ） A．0 B．a-b+c C．4a+2b+2c D．-2b+2a+2c 【答案】A 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置判断出b<c<0<a，|b|>|a|>|c|，再根据整式加减及去括号的运算法则，绝对值的意义对|a-b|-|b|+|a+c|+|c|-|2a|进行化简，即可得出答案. 【详解】解：由数轴可知：b<c<0<a，|b|>|a|>|c|， ∴a-b>0，b<0，a+c>0，c<0，2a>0， ∴|a-b|-|b|+|a+c|+|c|-|2a| =a-b-(-b)+a+c+(-c)-2a =a-b+b+a+c-c-2a =0. 故选A. 【点睛】本题考查了利用字母表示的数在数轴上的位置，从而去掉式子中的绝对值号. 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式，结果为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0，去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0， ∴|a-b|+|a+c|-2|c-a| =b-a-a-c-2c+2a =b-3c 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的性质．确定绝对值符号内代数式的符号是解答此类题目的关键． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】 【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点距离的大小即为绝对值的大小，判断出与的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并后即可得到结果． 【详解】解：由数轴上点的位置可得：， ，， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题，需要注意的是去绝对值． 4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，正确判断出各个式子的符号是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置可知，，再由即可得到答案； （2）根据（1）可得，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴上点的位置可知，， ∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【经典例题七 绝对值的非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟知． 【详解】解：∵，且， ∴，即为非负数，则为非正数， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）已知，求x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性质．即当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 【经典例题八 绝对值方程】 【例1】（23-24九年级·贵州铜仁·学业考试）若，则（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据题意求得a、b的值，然后再求a-b的值，最后求a-b的绝对值即可． 【详解】解：∵ ∴a=±3，b=±5 当a=3，b=5时，a-b=-2 当a=3，b=-5时，a-b=8 当a=-3，b=5时，a-b=-8 当a=-3，b=-5时，a-b=2 所以a-b=±2或±8 所以2或8． 故答案为D． 【点睛】本题考查了绝对值方程和求绝对值，根据题意求得a-b的值是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“船山值”为d，例如，，则2和3关于1的“船山值”为3．若3和1关于a的“船山值”为4，求a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义、有理数的加减运算和绝对值方程的应用，理解“船山值”的概念是解决此题目的关键．根据“船山值”的定义列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，等式矛盾，不符合题意； 综上，或． 故答案为：或． 1．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）若一个数的绝对值的相反数是，则这个数是（   ) A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设这个数为a，由于一个数的绝对值的相反数是-5得到-|a|=-5，然根据绝对值的意义即可得到a的值． 【详解】设这个数为a，根据题意得-|a|=-5， ∴|a|=5， ∴a=±5． 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知互为相反数，且，则的值为（　　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数和为0，又因为，可求得的值，代入即可求得结果判定正确选项，把相反数和绝对值的运算结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵互为相反数， ∴，即， ∵， ∴，即，解得或， ∴或， 故选：A． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键．根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10． 故答案为：或6． 【经典例题九 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的关键． 设被墨水遮住的数为，根据绝对值的性质，原式可转化为两个方程求解． 【详解】由题意得：， 根据绝对值的定义，有：， ，解得； ，解得， 因此，被遮住的数为或． 故选：D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2)两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用数轴确定a，b的符号. （1）由数轴可知，a，b均为负数，结合绝对值，得到a，b的值. （2）A，B两点之间的距离是大数减去小数. 【详解】（1）解：因为, 所以或，或， 由数轴可知：a，b在数轴的左侧，所以, 所以. （2）解：由（1）可得， 所以A，B两点之间的距离为：. 1．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）当一个正数逐渐变小（但仍然是正数）时，下列说法正确的是（   ） A．它的绝对值逐渐变大 B．它的相反数表示的点逐渐远离原点 C．它的绝对值逐渐变小 D．它的相反数的绝对值逐渐变大 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、相反数的定义以及数轴的知识，熟练掌握绝对值的定义及数轴上数的分布特点是解答本题的关键． 根据绝对值、相反数的定义以及数轴的知识逐条分析即可． 【详解】解：∵一个正数逐渐变小（但仍然是正数）， ∴这个正数对应的点到原点的距离变小， ∴它的绝对值逐渐变小， ∴它的相反数表示的点逐渐接近原点，它的相反数的绝对值逐渐变小， 所以符合题意为选项C． 故选：C 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，以及互为相反数的两个数的绝对值相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，则；故②正确； 若，则或．故③正确； 故答案为：①②③ 4．（23-24七年级上·广东河源·期中）把，0，3，，表示在数轴上，并观察数轴，直接写出绝对值小于的所有整数． 【答案】见解析，绝对值小于的所有整数为，，0，1，2 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、绝对值，在数轴上正确表示出有理数是解题的关键．在数轴上正确表示出有理数，观察数轴，再根据绝对值的定义即可得出绝对值小于的所有整数． 【详解】解：在数轴上表示如下： 观察数轴可得，绝对值小于的所有整数为，，0，1，2． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）2024年足球世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值定义，正负数大小比较，解题的关键是掌握正负数的意义． 根据题意先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示离标准最近． 【详解】解：∵， ∴绝对值最小的是， ∴最接近标准的是该球， 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案． 【详解】解：，，，， 的绝对值最小． 所以第四个球是最接近标准的球． 故选：D． 2．（2025·湖北孝感·模拟预测）一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选：C 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的应用，正确掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【答案】(1)1596毫升 (2)696元 【分析】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的加减法法则． (1)8个数据和加上8瓶标准试剂的总量即可； (2)计算这8个数据绝对值的和，然后乘12元得人工费． 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）五个有理数中，比小的是（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数比较大小的法则：绝对值大的反而小．根据有理数的大小比较，逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，所以，此选项符合题意； B、，所以，此选项不符合题意； C、所有负数都小于0，故,此选项不符合题意； D、1是正数，所有正数都大于负数，所以，此选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）海海有5张从左到右标号依次为①②③④⑤的卡片（如图），每张卡片上写着不同的数．请你按照要求，解决下列问题： (1)在上面给出的数轴上标出其余4张卡片上的数所表示的点，并将卡片上的5个数进行大小比较，用“<”连接． (2)若从5张卡片中抽取1张卡片，要使这张卡片上的数的绝对值最大，如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)数轴上表示见解析， (2)抽取①号卡片的绝对值最大，最大值是4． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，以及有理数的绝对值的求法． （1）根据数轴上的点与有理数的关系在数轴上即可表示出各数，然后按照数轴上的右边的点比左边的点表示的数大比较大小即可； （2）分别求出张卡片上的数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图． 数轴上右边的点比左边的点表示的数大， ． （2）解：，，，，， 抽取①号卡片的绝对值最大，最大值是． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某一天，沈阳、铁岭、鞍山、大连四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是 （    ） A．沈阳 B．铁岭 C．鞍山 D．大连 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小；根据即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴沈阳气温最低， 故选：A． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）山西省2025年初中学业水平体育考试所用排球为室内排球5号球（质量260g至280g）．如图，以270g为标准质量，检测了四个排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键．根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：，，，， ， 的排球最接近质量标准． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，因为 ， ，所以 ． 因为两个负数比较大小，绝对值大的 ，所以 ． 【答案】 2 4 反而小 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，再由两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：比较与的大小，因为，，所以． 因为两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以， 故答案为：，，，反而小，． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号的化简，关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． （1）先将两个数进行化简，再比较大小即可； （2）将作比较的两个数化成同分母分数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， （2），， ∵， ∴， 即． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（2025·辽宁沈阳·二模）我国通过嫦娥系列任务，系统研究了月球表面及极区的极端低温环境，以下是我国嫦娥系列任务及其测温（实测及预期）情况统计表： 任务名称（年份） 测量区域 测温情况 嫦娥三号（2013） 虹湾（正面） 实测，夜间最低： 嫦娥四号（2019） 南极—艾特肯盆地（背面） 实测，夜间最低： 嫦娥五号（23-24） 风暴洋地区（正面） 实测，月壤样本间接推测极区温度：以下 嫦娥七号（计划2026年） 月球南极 预期，目标最低温度：以下 下列相关温度数据，最低的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，先求出各个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，从而比较各个选项中数的大小，然后判断即可． 【详解】解：，，， ， ， ∴温度最低的是， 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）下列选项记录了我国四个直辖市某年1月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数和正数的大小比较，解题的关键是理解温度数值的含义，明确正数大于负数，以及正数之间、负数之间的大小比较规则． 观察四个选项的温度数值，区分正数和负数；正数温度高于负数温度，在正数中比较数值大小，数值大的温度更高． 【详解】解：根据所给选项的温度数据： 北京：，上海：，天津：，重庆：． 温度比较规则：正数大于负数，且正数中数值越大温度越高． 这里上海和重庆的温度为正数，北京和天津为负数，因此上海和重庆的温度高于北京和天津． 又因为，所以重庆的温度最高． 故选：D． 2．（2025·云南玉溪·二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（    ） A．吐鲁番盆地米 B．新疆天山1815米 C．珠穆朗玛峰8848米 D．玉龙雪山5596米 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴其中最低的是吐鲁番盆地． 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三个盆地的海拔分别是，那么 盆地的地势最高（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查有理数的比较大小，比较盆地海拔高度的大小，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴甲盆地的地势最高， 故答案为：甲． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知表示数a的点在数轴上的位置如下图所示． (1)若表示数a的点与表示其相反数的点相距18个单位长度，则数a是多少？ (2)在（1）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，则数b是多少？ 【答案】(1)数是 (2)数是或 【分析】本题考查了数轴、相反数以及两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． （1）根据题意可得，到原点的距离为，结合，可得； （2）结合（1）可得出，再分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：表示数的点与表示其相反数的点相距个单位长度， ，即． 由数轴可知，， ． （2）解：由（1）知，． 当表示数的点在表示数的相反数的点的右边时，． 当表示数的点在表示数的相反数的点的左边时，． 综上所述，数是或． 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）以下说法中不正确的选项是（　　） A．如果，那么 B．如果是大于1的正数，那么是小于的负数 C．一个数的相反数的相反数等于它本身 D．一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查了相反数和绝对值，熟练掌握相反数和绝对值的性质是解题关键．根据相反数的性质和绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、如果，那么，则此项说法正确，不符合题意； B、如果是大于1的正数，那么是小于的负数或大于1的正数，则此项说法不正确，符合题意； C、一个数的相反数的相反数等于它本身，则此项说法正确，不符合题意； D、因为一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0，所以如果一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数，则此项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可. 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6， ∴点A表示的数为﹣6， 故选：B. 【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键. 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数轴上点表示，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为3，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离以及相反数的意义． 根据数轴上两点之间的距离公式确定到点距离为的点在的左右两侧各一个，分别为或，再根据相反数的定义即可确定表示的数． 【详解】解：点到点的距离为，点表示的数是， 点表示的数是或， 又两点表示的数互为相反数， 点表示的数是或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 【答案】(1)，，，见解析 (2)或2 (3)运动2秒后，点P 可以追上点Q 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 故答案为：或2． （3）解：根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 又A起始数为，B起始数为， 根据题意，得， 解得． 【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用之追及问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【详解】解：①∵， ∴，，， 又∵， ∴同时为正数或两负一正， 当同时为正数时， ； 当两负一正时， ； ∴的值为或，故①错误； ②∵， ∴同时为负数或两正一负， 当同时为负数时， ； 当两正一负时， ， ∴的值为或，故②正确； ③当时， ， 此时最大值为，最小值为； 当时， ； ∴时，的最大值是，最小值是，故③正确； ④当时，则或， 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）探索研究： （1）比较下列各式的大小（填“>”“<”或“=”）． ①_____； ②_____； ③_____； ④_____． （2）通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系． （3）根据（2）中得出的结论，当时，的取值范围是__________；若，，则__________． 【答案】（1）①  ② ③  ④；（2）；（3），或或5或 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较． （1）①利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小； ②利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小； ③利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小； ④利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小； （2）根据绝对值的性质结合，当a与b同号或a、b中至少有一个为时，当，异号时分析得出答案； （3）利用（2）中结论进而分析得出答案. 【详解】解：（1）①，， ∴； ②，， ∴； ③，， ∴； ④，， ∴， 故答案为：①  ② ③  ④； （2）由（1）可得：当a与b同号或a、b中至少有一个为，则． 当a与b异号时，则． （3）， ∴； ∵，， ∴， ∴与异号， 令，则，异号， ∴， ， ①当，时， ，则， ∴， 解得：或； ②当，时， ， 则， ∴， 解得：或； 或， 故答案为： ；或． 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）实数，，在数轴上如图所示，化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可得：b＜c＜0＜a， ∴=-b ;=-c ∴ =a-b+c 故选:C 【点睛】此题考查了数轴和绝对值，熟练掌握各自的意义是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，根据数轴可以判断a，b，c的正负以及它们绝对值的大小，从而可以化简，解题的关键是根据数轴判断a，b，c的正负和绝对值的大小，将所求式子的绝对值符号去掉． 【详解】解：由数轴得，， ，， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．由可化简得，在化简的过程中判断、、、的符号，从而对题中的绝对值进行化简． 【详解】解：由有四个不同的解，可知、均不为0，且， 故， 则， 化简得可知，， ，，而且， ． 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 先根据数轴的定义可得，从而可得，，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可． 【详解】由数轴得：， ∴， ∴ ． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 【例1】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与 7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= .    （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 . 【答案】(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离；(2) |x-7|；(3)7或-3 ；(4)-1,0,1,2；(5) 9 . 【分析】（1）类比题目所给的方法解答即可；（2）类比题目所给的方法解答即可；（3）由|x-2|=5，可得x-2=5或x-2=-5,解得x=7或-3；（4）要x的整数值可以进行分段计算，令x+1=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的整数值；（5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【详解】解：(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离.； (2) |x-7|； (3)7或-3 ； (4) 令x+1=0或x-2=0时，则x=-1或x=2 当x＜-1时， ∴-（x+1）-（x-2）=3， -x-1-x+2=3， x=-1（范围内不成立） 当-1＜x＜2时， ∴（x+1）-（x-2）=3， x+5-x+2=3， 3=3， ∴x=0，1，2 当x＞2时， ∴（x+1）+（x-2）=3， x+1+x-2=7， 2x=8， x=4（范围内不成立）， ∴综上所述，符合条件的整数x有： -1，0，1，2； （5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 【答案】（1）7;（2）;（3）8 . 【分析】（1）根据两点间距离的计算即可得解； （2）根据两点间距离公式解答； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解. 【详解】（1）|5-（-2）|=7； （2）|x+1|或|x-（-1）|； （3）由题意得，-5≤x≤2，所以符合条件的整数有-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，共8个. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 【答案】（1）2；5；（2）|x+3|；（3）4 【详解】试题分析：（1）直接利用数轴可得AB，AC的长； （2）结合数轴可得出点E表示的数为x，则AE的长为：|x+3|； （3）直接利用数轴可得出|x﹣1|+|x+3|的最小值． 试题解析：（1）如题图所示：AB=-1-（-3）=2，AC=2-（-3）=5， 故答案为2，5； （2）根据题意可得：AE=|x-(-3)|=|x+3|， 故答案为|x+3|； （3）由数轴可知：| x-1|相当于x 到数轴上1的距离，| x+3 |相当于x到-3的距离，所以绝对值之和的最小值为到两点距离之和的最小值，也就是x在两点之间时，所以最小值为5， 即|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过计算发现数轴上两点间的距离实际是就是求数轴上这两点所表示的数的差的绝对值是解题的关键. 2．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 【答案】(1)1或 (2) (3)满足要求的点P表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程，深刻理解绝对值的含义并能融会贯通加以应用是解题的关键． （1）根据两点之间的距离为，解该绝对值方程即可求出的值； （2）根据绝对值的几何意义，是到的距离，是到的距离，分析距离和为时的位置范围． （3）设表示的数为，用绝对值表示到、的距离、，分、、三种情况，结合距离差为列方程求解． 【详解】（1）∵数轴上表示数x和的两点间的距离为2， ∴， ， 或， 故x为1或； （2）解：表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 的值为3表示点C到A、B这两点的距离之和为3， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于3， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取的值为3， 此时x的取值范围是； （3）假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意，舍去， 满足要求的点P表示的数为． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 【例1】（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义以及两点间的距离公式即可判断． 【详解】解：A、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，故A选项不符合题意； B、当时，（舍； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：若满足时，则的值是或2.5，故B选项不符合题意； C、因为表示5、在数轴上对应的两点之间的距离是为8，所以此选项说法错误，故C选项符合题意； D、、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为4，则、两点之间的距离为，故D选项不符合题意； 故选：C． 【例二】（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 【答案】(1)1或 (2) (3)满足要求的点P表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程，深刻理解绝对值的含义并能融会贯通加以应用是解题的关键． （1）根据两点之间的距离为，解该绝对值方程即可求出的值； （2）根据绝对值的几何意义，是到的距离，是到的距离，分析距离和为时的位置范围． （3）设表示的数为，用绝对值表示到、的距离、，分、、三种情况，结合距离差为列方程求解． 【详解】（1）∵数轴上表示数x和的两点间的距离为2， ∴， ， 或， 故x为1或； （2）解：表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 的值为3表示点C到A、B这两点的距离之和为3， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于3， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取的值为3， 此时x的取值范围是； （3）假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意，舍去， 满足要求的点P表示的数为． 1．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，读懂题意，理解绝对值的几何意义，是解答本题的关键． 表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，由此得到答案；同理，当时，取最小值，然后化简求出结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于，利用数轴可以得到结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为，故①不正确； ②当时，取最小值，（为大于的奇数）， 即 ， 故②正确； ③表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于， 根据图像法，可得或， 故③不正确； ④表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，即， 故④正确， 综上正确的是②④， 故选：． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质即可判断①正确；分，和三种情况，先化简绝对值，再解方程，计算整式的加减即可判断②错误；分，和三种情况，化简绝对值即可判断③错误；根据求解即可判断④错误． 【详解】解：①数轴上表示、的两点之间的距离表示为，说法正确； ②当时，，解得，符合题设， 当时，，舍去， 当时，，解得，符合题设， 综上，若，则或，原说法错误； ③当时，， 当时，， 当时，， 所以的最小值是3， 所以若存在整数，使的值最小时，则，0，1，2，原说法错误； ④， ∵的最小值是2， ， 解得或，原说法错误； 综上，说法正确的有1个， 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．则|x-100|+|x-50|+|x+100|的最小值为 ． 【答案】200 【分析】本题实质是在数轴上确定一点，使这点到表示100，50，-100的点的距离和最小，通过数轴可知，当该点与表示50的点重合时，距离和最小． 【详解】设数轴上表示100，50，-100的点分别为A，B，C，数轴上任意一点为P， 当P不与B重合时，PA+PB+PC＞AC， 当P与B重合时，PA+PB+PC=AC=100， 故答案为200． 【点睛】本题考查数轴上三点之间距离和的最值，充分御用数形结合思想是解答此类题目的关键． 4．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|=.根据 以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 . （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和. ①用代数式表示A、B两点之间的距； ②如果,求x的值. （3）直接写出代数式的最小值. 【答案】(1)3，3；（2）①|AB|=|x+1|，②1或-3；（3）5. 【分析】(1)根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5－ 2|＝ 3 ;数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是:|(－2)－(－5)|＝3； (2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和－1,可得表示A、B两点之间的距离是：|x－(－1)|＝|x＋ 1|；②如果|AB|＝ 2,则|x＋ 1|＝ 2 ,据此求出x的值是多少即可. (3)根据题意,可得代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和，所以当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是表示4的点与表示－1的点之间的距离,即代数式|x＋1|＋ |x－4|的最小值是5. 【详解】根据分析,可得(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5－ 2|＝3;数轴_上表示－2和－5的两点之间的距离是:｜(－2)－(－5)｜＝|－2＋5|＝ |3|＝3. (2)①|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2,x＋1＝2或x＋1＝－2,解得x＝1或x＝－3. (3)∵代数式|x＋1|＋ |x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和,∴当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是:|4－(－1)|＝5. 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数－a;③当a是零时,a的绝对值是零. 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 【例1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】当，；当时，，按此分类讨论即可． 【详解】解：当，；当时，，按此分类讨论， 当、、、、均为正数时，， 当、、、、有八个为正数，一个为负数时，， 当、、、、有七个为正数，两个为负数时，， 当、、、、有六个为正数，三个为负数时，， 当、、、、有五个为正数，四个为负数时，， 当、、、、有四个为正数，五个为负数时，， 当、、、、有三个为正数，六个为负数时，， 当、、、、有两个为正数，七个为负数时，， 当、、、、有一个为正数，八个为负数时，， 当、、、、均为负数时，， 所以共有10个值． 故选A． 【点睛】此题主要考查分类讨论能力，解题的关键是充分利用好这一结论，注意分类的准确． 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 1．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值有关的问题，根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ， 最后输出的结果是2，故①错误； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， 此时输出结果为4，故②错误； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ， 此时输出结果为0，为最小值，故③正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得(负值舍去)， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； ③④正确，正确的个数是2个， 故选B． 3．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 1．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则m点对应的数在数轴上表示的位置在（   ） A．在原点左侧 B．在原点右侧 C．在原点 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相反数与数轴，根据0的相反数是0，然后利用数轴的知识解答． 利用“0的相反数是0”解答即可． 【详解】解：∵0的相反数是0， ∴m为0， ∴m在数轴上表示的位置在原点， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，用有理数表示数轴上的点，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【详解】∵点A表示的数是2024，点O表示的数是0，点O是线段的中点， ∴点B表示的数是． 故选：B． 3．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 本题考查数轴、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， ∴或， ∴或． 故选：D． 4．（2023·浙江·模拟预测）若x为实数，则的值一定（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分当时，当时两类讨论即可作答． 【详解】当时，， 当时，， 综上：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了去绝对值的知识，注意分类讨论即可作答． 5．（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列数中，在带箭头的直线上距离O点最远的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值，在数轴上，距离原点O最远的数即绝对值最大的数，计算各选项的绝对值即可确定答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴距离原点O点最远， 故选：B． 6．（2025·陕西西安·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比较有理数的大小，把原式变形后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：C． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）用表示两数中的较小者，用表示两数中的较大者，例如．若是互不相等的自然数，，则（   ） A． B． C． D．和都有可能 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小的法则，根据题意，采取取特殊值法，取依次为4，3，2，1，再由求解可得；同理，取依次为4，2，3，1，计算可得，从而确定答案，读懂题意，利用有理数比较大小的法则，按要求得到的值是解决问题的关键． 【详解】解：取依次为4，3，2，1， ， ， 则， ； 取依次为4，2，3，1， ， ， 则， ； 综上所述，和都有可能， 故选：D． 8．（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，掌握绝对值越小的数越接近0成为解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后确定绝对值最小的数即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴最接近0． 故选D． 9．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为．则以下几种说法：①若，则；②方程的整数解为．③式子的最小值为9；④若，则的最小值为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值与数轴的应用，根据数轴上两点之间的距离，绝对值的意义求解即可．解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义． 【详解】①若， ∴x表示的数到8的距离等于3 ∴或，故原说法错误， ②∵ ∴x表示的数到的距离加上x表示的数到4的距离等于6， ∵到4的距离为6 ∴x在和4之间及端点， ∴方程的整数解有，，0，1，2，3，4故原说法错误； ③式子表示的是a表示的数到的距离加上a表示的数到4的距离加上a表示的数到1的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时，故原说法正确； ④∵ ∴ ∵表示a表示的数到0的距离加上a表示的数到的距离， ∴当，时，最小值为2，此时a的最小值为， 表示b表示的数到1的距离加上b表示的数到4的距离， ∴当，时，最小值为3，此时b的最小值为1， 表示c表示的数到1的距离加上c表示的数到的距离， ∴当时，最小值为7，此时c的最小值为， ∵， ∴的最小值为，故原说法正确． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 10．（2023·重庆沙坪坝·一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可； ②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论． 【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得： ， 结果不含与e相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”： “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有12种不同的结果，故②错误； ③∵，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， 同理：，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ∴当，，都取最小值时， ， 此时，的最小值为，故③正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键； 根据点在点的左边时和点在点的右边时，分情况讨论即可求解； 【详解】解：点在数轴上对应，点与点的距离为， 当点在点的左边时，点在数轴上对应的点为， 当点在点的右边时，点在数轴上对应的点为． 故答案为：或 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 13．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小关系，根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （1）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （2）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，画出数轴如下： 由数轴可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵表示数的点在原点的两侧， ∴， 画出数轴如图： ∴； 故答案为：． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列四个式子：①；②；③；④．正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案． 【详解】解：①， ， ， ∴①正确； ②，， ， ， ∴②正确； ③， ， ， ∴③正确； ④，， ， ， ∴④错误． 故答案为：①②③． 16．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 【答案】(1)第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的 (2)第1，2，4，6件样品是正品 【分析】本题考查了正数与负数的绝对值，掌握绝对值的求法，理解题意是解决本题的关键. （1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果不大于0.18的样品为正品. 【详解】（1）由表格可知，的绝对值最小，所以第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的． （2）因为； ； ； ； ； ， 所以第1，2，4，6件样品是正品． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知表示数的点在数轴上的位置如图①所示． (1)在数轴上表示出数的相反数的位置． (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距20个单位长度，则是多少？ (3)若数，在数轴上的位置如图②所示，试将，，，，1，，用“<”排列出来． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）a与a的相反数分别位于原点两侧，且到原点距离相等，据此即可表示出数的相反数的位置. （2）a对应的点与其相反数对应的点到原点的距离相等. （3）结合数轴上数的位置与大小关系，以及相反数的符号标出各点. 【详解】（1）解：a在原点左侧，所以它的相反数在原点右侧，且到原点的距离与a到原点的距离相等，所以如图所示： （2）解：由题意可知，数对应的点与原点相距10个单位长度且在原点左侧， 所以是． （3）解：由图②可知，,所以， 又因为，所以， 所以． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出，，的大致位置是解题的关键． （1）根据已知条件，分析出，，，距离原点的远近即可解答； （2）根据相反数的定义，结合（1）中数轴画出的，，的大致位置即可解答； （3 ）化简可得(负数)，(正数)，结合（1）中所画中，，的大致位置即可解答； （4）由题意可知为正数且，但是不知道有理数的情况，故分三种情况()讨论即可． 【详解】（1）解：，为负数，，为正数，且． 正数部分：距离原点最远，其次是 负数部分：距离原点最远，其次是 在数轴上标出表示数，，，的点如图①． （2）解：在数轴上标出表示数，，，，，的点如图②， 所以． （3）解：为正数，为负数 (负数)，(正数) 在数轴上标出表示数，，，的点如图③， 所以． （4）解：需分以下三种情况讨论： ①若，因为，所以，不符合题意，舍去； ②若，因为，且，所以； ③若，因为，且，所以． 综上所述，或． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $$