1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖坐标运算、平行垂直关系、夹角与距离公式。通过预习填空和温馨提示搭建学习支架，衔接平面向量知识，引导学生从二维向三维过渡。 其亮点是知识点梳理表格化呈现运算公式，例题分层探究坐标求解、平行垂直应用等问题，结合数学思维的推理能力和数学眼光的几何直观。课堂即时练巩固知识，反思总结归纳方法，帮助学生提升解题能力，教师可直接用于教学提高效率。

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 第一章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量的坐标运算. 2.掌握空间向量的数量积运算. 3.能利用空间两点间的距离公式解决几何问题. 索引 知识点梳理 例题探究 课堂即时练 学习安排 一、新知填空(预习教材P19~P21后填空) 1.空间向量的坐标:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______________________. 终点坐标减去起点坐标 知识点梳理 2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有 运算 坐标表示 加法 a+b=__________________________ 减法 a-b=_______________________ 数乘 λa=____________________ 数量积 a·b=____________________ (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3),λ∈R a1b1+a2b2+a3b3 3 (1)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)向量线性运算的结果仍是向量;数量积的结果为数量. 温馨提示 3.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有: (1)平行关系:当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔_________,____________, __________ (λ∈R). (2)垂直关系:a⊥b⇔a·b=0⇔_____________________. a1=λb1 a2=λb2 a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 知识点梳理 4 (1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0). (2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b1b2b3≠0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔==. 温馨提示 知识点梳理 4.若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),cos<a,b>==___________________________. 5.空间两点间距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||= _____________________________________. 5 (1)空间两直线所成的角可转化为两向量的夹角,设直线AB与CD所成的角为θ, cos θ=|cos<,>|. (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模,因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式. 温馨提示 6 例题探究 7 在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5). (1)求顶点B,C的坐标; 例1 一、空间向量运算的坐标表示 设B(x,y,z),C(x1,y1,z1), 所以=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z). 因为=(4,1,2), 所以 8 所以点B的坐标为(6,-4,5). 因为=(3,-2,5), 所以 所以点C的坐标为(9,-6,10). 因为=(-7,1,-7), 所以·=-21-2-35=-58. (2)求·; 9 设P(x2,y2,z2), 则=(x2-2,y2+5,z2-3),=(9-x2,-6-y2,10-z2), 于是有(x2-2,y2+5,z2-3)=(9-x2,-6-y2,10-z2), 所以 故点P的坐标为. (3)若点P在AC上,且=,求点P的坐标. 10 反思总结 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算 首先将空间向量用坐标表示出来,然后带入坐标公式进行计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量的坐标形式设出来,然后解方程（组），求出其坐标. 11 已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2). (1)若a∥b,分别求λ与m的值; 例2 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 因为a∥b, 所以设(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2), 所以 解得所以λ=,m=3. 12 因为|a|=且a⊥c, 所以 化简得解得λ=-1. 因此a=(0,1,-2). 已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2). (2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a. 13 如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,侧棱与底面垂直,CA=CB=1, ∠BCA=,棱AA'=2,点M,N分别是A'B'和A'A的中点. (1)求||; 例3 三、夹角与距离的计算 由题意知,CA,CB,CC'互相垂直,如图所示,以点C为原点,CA, CB,CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意,得B(0,1,0),N(1,0,1). 由=(1,-1,1),||==. 14 由题意,得B(0,1,0),C(0,0,0),A'(1,0,2),B'(0,1,2). 因为=(1,-1,2),=(0,1,2), 所以||==, ||==, ·=1×0+(-1)×1+2×2=3, cos<,>===. 故cos<,>的值为. (2)求cos<,>的值; 15 (3)求证:⊥. 由题意,得A'(1,0,2),B(0,1,0),C'(0,0,2),M. 因为=(-1,1,-2),=, 所以·=(-1)×+1×+(-2)×0=0, 即⊥. 感悟提升 向量夹角与模的计算步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系 （2）求坐标：写出有关点的坐标, （3）论证、计算：结合公式对夹角与模进行求解. 17 课堂即时练 1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于 A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) √ 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4). 18 课堂即时练 2.已知点A(2,3,-1),B(0,2,3),则=　　　　　,||=　　　　.  (-2,-1,4) 　 =(-2,-1,4), ||==. 19 课堂即时练 3.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),于是·=10-3-7=0, 而||=,||=5, 所以△ABC是直角三角形. √ 20 课堂即时练 4.已知a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,-1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角为 A.90° B.60° C.30° D.0° a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,-1,cos α), 则a+b=(cos α+sin α,-2,sin α+cos α), a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α), 则(a+b)·(a-b)=(cos2α-sin2α)+(sin2α-cos2α)=0, 故向量a+b与a-b垂直,即向量a+b与a-b的夹角为90°. √ 21 课堂小结 1.知识清单 （1）空间向量运算的坐标表示 （2）空间向量的坐标表示的应用 2.方法归纳：类比、转化（和平面向量类似） 3.常见误区： （1）由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等 （2）求异面直线所成的角时忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况 课后作业 1、完成课后习题P21-23的课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$