2025年湖南省益阳市中考数学学科素养与创新能力大赛试卷

2025年湖南省益阳市中考数学学科素养与创新能力大赛试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.设a，b，c的平均数为M，a和b的平均数为N，N和c的平均数为P，若，则(    ) A. B. C. D. 3.若，，则(    ) A. 10 B. 14 C. 52 D. 64 4.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线AB绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段AC的长为(    ) A. 1 B. C. D. 5.已知，，，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.如图，某公园内有一斜坡AB，坡度，米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树OP的高为米. A. B. 30 C. D. 7.如图，中，，，M是BC上一点，且，AD平分，过M作交AC于F，则(    ) A. 3 B. C. 4 D. 8.已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.阅读：已知对于任意正整数n，都有，求的值.小郭通过思考发现可以这样解答；若对于任意正整数n，都有则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.是整数，则正整数n的最小值是______. 12.某天，小赵准备给甲乙丙丁四个同学分别打一个电话，打电话的顺序是任意的，则恰好第一个电话打给乙，第二个电话打给甲的概率为______. 13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OA，OC上的点.若，，，，则DE的长为______. 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，，E为BC的中点，AB上有一点F，若，则的面积等于______. 15.阅读：求方程的正整数解.小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令为正整数代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为请你在下列两个问题中任选一个作答.问题①：方程的正整数解是______；问题②：方程的正整数解是______注意：如果你解答了两个问题，则按照第一个问题的解答评分 三、解答题：本题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题12分 若，化简； 解方程组： 17.本小题12分 已知矩形ABCD，，，BC边上有一动点E，连接DE，将沿直线DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处. 求的值； 若半径为1的在四边形CDFE内包括边界任意移动，则能够到达的区域的面积是多少？第问只需要写出结果，不要过程 18.本小题12分 已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值. 证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除. 19.本小题14分 如图1，已知，过点A作圆切BC于C，再过点B作圆切AC于C，两圆除C外的交点记为 证明：； 如图2，若点P在AB上，过P作交BC于E，过P作交AC于F，证明：四点C，D，E，F共圆. 20.本小题15分 如图1，已知抛物线，将抛物线E向下平移1个单位长度后得到抛物线F，记抛物线F的顶点为P，坐标原点O关于P点的对称点为Q，过点Q且平行x轴的直线记为l，抛物线F上有一动点位于y轴的左边，连接AO并延长交抛物线F于点B，过点B作BC平行y轴交AP的延长线于C点. 证明：C点在直线l上； 过A点作AD垂直l，垂足为D，证明：是等腰三角形； 如图2，已知线段MN的端点M、N均在抛物线F上，且，线段MN的中点为G，当线段GC的长最小时，求A点的坐标. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意； 故选： 先根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式法则，平方差公式进行计算，再根据求出的结果找出选项即可． 本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：，b，c的平均数为M，a和b的平均数为N，N和c的平均数为P， ，，， ， ， 整理得：， 故选： 根据算术平均数的计算公式得到，，，根据题意列出不等式，根据不等式的性质解答即可． 本题考查的是算术平均数，掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：由立方和公式可得， ，， ， ， ， 解得， 故选： 利用立方和公式结合完全平方公式推导即可得解． 本题主要考查了完全平方公式和立方和公式以及因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， ，， ， ， 将直线AB绕点B顺时针旋转交x轴于点C， ， ， 故选： 利用一次函数的解析式求得，，则，即可求得，进一步求得，解直角三角形求得，即可求得 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等，求得是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或 故选： 如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，关键是要分两种情况讨论． 6.【答案】A  【解析】解：作，如图所示， 斜坡AB的坡度：， ， ， ， ， ， 过于点E， ，， ， ， ， 设， ，， 米， ， 解得，， 米， 故选： 如图，小明家附近有一斜坡米，其坡度，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为，在山顶B处看古树树顶E的仰角为，则古树的高约为 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件． 7.【答案】C  【解析】解：如图，延长FM到N，使，连接BN，延长MF交BA延长线于E， ， ， ∽， ，， 又，， ， ，， ， 故选： 可通过作辅助线，即延长FM到N，使，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，能够熟练掌握． 8.【答案】A  【解析】解：令即， 解得，， 将解析式转化为顶点式得， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入，解得， 若，，则，， ， 故选： 求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】B  【解析】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时，， 当时，， 故①不符合题意； ②当时，， 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选： 将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键． 10.【答案】D  【解析】解：对于任意正整数n，都有， 当时， …… ， ， 原式… … … ， 故选： 根据已知条件，求得当时，……，将其整理后可得，则，然后将原式变形后利用裂项法计算即可． 本题考查规律探索问题，有理数的混合运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 11.【答案】3  【解析】解：， 是整数，n为正整数， 的最小值是 故答案为： 先分解质因数，再求出正整数n即可． 本题考查饿二次根式的定义和性质，能熟记是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中恰好第一个电话打给乙，第二个电话打给甲的结果有1种， 恰好第一个电话打给乙，第二个电话打给甲的概率为 故答案为： 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好第一个电话打给乙，第二个电话打给甲的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，过点B作于N，在OC上截取，连接BH， 四边形ABCD是矩形， ，， 又，， ≌， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由SAS可证≌，可得，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示：   在等腰中，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， 是外接圆的直径， 又， 根据圆周角定理得：点F在外接圆上， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 点E是BC的中点， ， ， 解得：， ， ， 的面积为： 故答案为： 作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，AE是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 15.【答案】 ，  【解析】解：， 则， ， ， ， 没有正整数根， 的正整数根是， 则方程的正整数解是， 满足方程的正整数x的范围，正整数y的范围， 经验证：，或，满足方程， 方程的正整数解是，， 故答案为：；， 不是方程的左边因式分解得到，得到正整数解；根据正整数的平方确定x、y的范围，验证即可． 本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，掌握多项式的因式分解是解题的关键． 16.【答案】1；    【解析】由已知条件可得， 则， 原式 ； ， ①+②+③得：， 则④， ②-④得：⑤， ③-④得：⑥， ⑤-⑥得：， 解得：， 将代入⑥得：， 解得：， 将，代入④得：， 解得：， 故原方程组的解为 由已知条件得，将原式通分并计算后进行化简即可； 利用加减消元法解方程组即可． 本题考查分式的化简求值，解三元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键． 17.【答案】；     【解析】四边形ABCD是矩形， ，， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ； 如图1，与CD，DF相切，设切点为G，H，连接OG，OH， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D处不能到的区域的面积； 如图2，与CD，BC相切，设切点为G，P，连接OG，OP， ，， ， 四边形OGCP是正方形， ， 点C处不能到的区域的面积； 同理可得：点F处不能到的区域的面积； 如图3，与BC，EF相切，设切点为P，Q，连接OP，OQ， ，， 同理得， ， ， 点E处不能到的区域的面积； 能够到达的区域的面积 先由折叠得：，，，由勾股定理可得AF的长，由三角函数可得：，由平角的定义和直角三角形的两锐角互余可得，，由此即可解答； 分别计算半径为1的不能到四边形CDFE四个顶点处的区域，计算四边形CDFE的面积与这四个顶点处处不能到的面积差即可解答． 本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，圆的切线的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，扇形的面积和三角形的面积等知识，熟练掌握相关性质是解题关键． 18.【答案】；   证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立．  【解析】解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以， 证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； 由题易知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或，2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 本题主要考查因式分解、数的整除、整式出发等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】证法一：如图1，设CG是过点A，C，D的圆的直径，连接GD， 则， 又过点A，C，D的圆切BC于C， ， 同理： ； 证法二：由弦切角定理可知：，， ∽， ；   如图2，连接DE，DF， ， ， ， 同理得 ，即， 结合  的结论可得， 由  可知， ∽ 四点C，D，E，F共圆．  【解析】证明：证法一：如图1，设CG是过点A，C，D的圆的直径，连接GD， 则， 又过点A，C，D的圆切BC于C， ， 同理： ； 证法二：由弦切角定理可知：，， ∽， ； 如图2，连接DE，DF， ， ， ， 同理得 ，即， 结合的结论可得， 由可知， ∽ 四点C，D，E，F共圆． 利用圆周角定理和切线的性质导角易证，进而得证； 利用相似易得，进而可得，同理得，所以，再证∽，可得，进而得证． 本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、切线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20.【答案】证明：已知抛物线E：向下平移1个单位长度后得到抛物线F， 根据抛物线平移规律“上加下减”，可得抛物线F的方程为 对于抛物线，其顶点坐标公式为， 在抛物线F：中，，，， 所以顶点P的坐标为 因为坐标原点关于点的对称点为Q， 若两点，的中点为，则，， 设Q点坐标为，则，， 解得，， 所以Q点坐标为，那么直线l的方程为 设A点坐标为，，直线AO的方程为， 把代入可得， 解得， 所以直线AO的方程为 联立直线AO与抛物线F的方程， 得， 已知A点横坐标为m，设B点横坐标为n， 由韦达定理， 则， 把代入抛物线F的方程， 可得， 所以B点坐标为 设直线AP的方程为， 把代入可得， 解得， 所以直线AP的方程为 因为BC平行y轴，B点横坐标为， 把代入直线AP的方程， 所以C点纵坐标为， 即C点在直线l上；   证明：已知，D点在直线l：上且， 所以D点坐标为 对进行变形：， 所以，则是等腰三角形．；     【解析】证明：已知抛物线E：向下平移1个单位长度后得到抛物线F， 根据抛物线平移规律“上加下减”，可得抛物线F的方程为 对于抛物线，其顶点坐标公式为， 在抛物线F：中，，，， 所以顶点P的坐标为 因为坐标原点关于点的对称点为Q， 若两点，的中点为， 则，， 设Q点坐标为，则，， 解得，， 所以Q点坐标为，那么直线l的方程为 设A点坐标为，，直线AO的方程为， 把代入可得， 解得， 所以直线AO的方程为 联立直线AO与抛物线F的方程， 得， 已知A点横坐标为m，设B点横坐标为n， 由韦达定理，则， 把代入抛物线F的方程， 可得， 所以B点坐标为 设直线AP的方程为， 把代入可得， 解得，所以直线AP的方程为 因为BC平行y轴，B点横坐标为，把代入直线AP的方程， 所以C点纵坐标为， 即C点在直线l上． 证明：已知，D点在直线l：上且， 所以D点坐标为 对进行变形：， 所以， 则是等腰三角形． 解：过G作于 因为G是MN中点，M、N在抛物线F上，轴，轴， 所以GH是梯形ADCB的中位线． 当A、G、H三点共线时，GC最短， 此时A点的纵坐标与G点的纵坐标相同． 设，， 由勾股定理得， 代入数据得， 因为G是MN中点，G点纵坐标为 当A、G、H三点共线时，A点纵坐标， ， 化简解得， 把代入， 得 证明C点在直线l上：通过设A点坐标，求出直线AO与抛物线F的另一个交点B的坐标，再结合直线AP的方程及BC平行y轴的条件，得出C点纵坐标为，从而证明其在直线l上； 证明是等腰三角形：根据A点坐标和的条件确定D点坐标，通过计算和，发现二者相等，即，进而证明为等腰三角形； 求线段GC长最小时A点的坐标：利用梯形中位线定理分析GC长与相关点坐标的关系，结合MN的长度条件，得出当特定三点共线时GC最短，进而求出此时A点的坐标． 本题考查了抛物线的平移，点的坐标相关知识，直线方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$