专题04 特殊三角形中的分类讨论思想和整体思想（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题04特殊三角形中的分类讨论思想和整体思想 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中的分类讨论（常考点） 1 题型二、直角三角形中的分类讨论（常考点） 2 题型三、操作与作图中的分类讨论 3 题型四、整体思想（设而不求）下的计算或证明（常考点） 5 题型五、勾股定理中的整体思想（重点） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中的分类讨论 1．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是 ． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 4.（2025八年级上·全国·专题练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为．求该等腰三角形顶角的度数． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 题型二、直角三角形中的分类讨论 1.（24-25七年级下·重庆·期末）在中，，为边上的高，且，则的度数为 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 3.（25-26八年级上·全国·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 4.的面积为，，，则 ． 5.“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 题型三、操作与作图中的分类讨论 1.（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成 个等边三角形． 2.如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是 个． 3.（24-25八年级上·浙江·期中）在边长为和的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为 ． 4.（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则 ． 5.（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 6.（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 7.（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 8.（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 9.（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 题型四、整体思想（设而不求）下的计算或证明 1.（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 2.（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 4.如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 5.如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 题型五、勾股定理中的整体思想 1.（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 4.（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）已知两条线段的长分别为、，当第三条线段长为 时，这三条线段可以构成一个直角三角形． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则 °． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ； ②当是直角三角形时，的长为 ． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，，点M，N在边上，，，点P是边上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．    10．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式，对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式，即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式，如：分解因式 （1） （2） 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 11．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 12．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04特殊三角形中的分类讨论思想和整体思想 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中的分类讨论（常考点） 1 题型二、直角三角形中的分类讨论（常考点） 4 题型三、操作与作图中的分类讨论 11 题型四、整体思想（设而不求）下的计算或证明（常考点） 21 题型五、勾股定理中的整体思想（重点） 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中的分类讨论 1．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：①当是底角时，则答案为：； ②当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是 ． 【答案】/22厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 4.（2025八年级上·全国·专题练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为．求该等腰三角形顶角的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图①， ，，为高，即， 此时， ，此时该等腰三角形顶角度数为． 若三角形为钝角三角形时，如图②， ，，为高，即， 此时． 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 题型二、直角三角形中的分类讨论 1.（24-25七年级下·重庆·期末）在中，，为边上的高，且，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形内角和定理，根据题意分类讨论：当在的内部时，得，由直角三角形的性质求得，再根据三角形内角和定理求解，当在的外部时，由直角三角形的性质求得，再由进行求解即可． 【详解】解：当在的内部时， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在的外部时， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论． 【详解】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 3.（25-26八年级上·全国·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的定义，分类讨论两种情况求解是关键．若是等腰三角形，则，即可求得等腰三角形的面积；若是等腰三角形，则，设，根据勾股定理列方程求出的长，即可根据求得答案． 【详解】解：若是等腰三角形，则， ， ； 若是等腰三角形，则， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； 故答案为：或． 4.的面积为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积和勾股定理，分高在三角形内部和外部两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当高在三角形内部时，如图，作AD⊥BC， 则， 即：， ， 又， ， ， ； ②当高在三角形外部时，如图，作AD⊥BC交CB的延长线于点D， 由①知 ∴CD=BC+BD=13， ∴， 故答案为：． 5.“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)9，或． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案； （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过作于E，证明即可得到答案； （4）分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）解：过点B作， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：①当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴； ②当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴， ∴； ③当作斜边，时，作三角形高，过D作，过A作， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴，， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的面积是9，或． 题型三、操作与作图中的分类讨论 1.（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成 个等边三角形． 【答案】28 【分析】本题考查等边三角形的性质，设小等边三角形的面积为1，按照面积进行划分即可． 【详解】解：设小等边三角形的面积为1，则面积为1的等边三角形有18个，面积为4的等边三角形有8个，面积为9的等边三角形有2个， 共：（个）． 故答案为：28． 2.如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是 个． 【答案】8 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：如图所示： 点的位置如， 其中，，AB=2， 由勾股定理得：， 为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故答案为：8． 3.（24-25八年级上·浙江·期中）在边长为和的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为 ． 【答案】或或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的概念和尺规作图是解题关键． 分别作、、的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得等腰三角形，或以点为圆心，长为半径画弧交于点，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图1，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图2，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图3，以点为圆心，长为半径画弧交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为． 如图4，作边的垂直平分线，交于点，连接， 则， 设，则， 故， 解得：， 故， 故． 故答案为：或或6． 4.（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理，由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的定义结合题意分两种情况：当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，点P为射线上一点（不包括点O），是等腰三角形， ∴存在两种情况：如图，当时， 则， ∴， ∴； 如图，当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或． 5.（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 6.（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 【答案】、、是直角三角形（任写其一即可）． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】解： 连接、、、、、， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，，，，， ∴，，， ∴、、是直角三角形（任写其一即可）． 7.（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 8.（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 9.（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 题型四、整体思想（设而不求）下的计算或证明 1.（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，设，，证明和全等得，，则，，由三角形外角性质得，则，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 设，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 即， 要求的度数，则只需知道的度数即可． 故选：B． 2.（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连结，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连结，延长交于点， ∴， ∵点是，的垂直平分线的交点，， ∴，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 3.如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和整体思想，如果已知一个正方形的面积，即使不知道如何拼剪，也可以直接得出所得正方形的边长。． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 4.如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 5.如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．连接，根据三角形内角和定理，得出，再结合角平分线的定义，得到，由折叠的性质可知，，，从而得出，，即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 题型五、勾股定理中的整体思想 1.（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 2.（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 3.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 4.（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形，三角形的三边关系，解题中注意运用分类思想避免漏解． 根据等腰三角形的定义分两种情况解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为3时，则三边长分别为：3、3、7， ∵， ∴不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为7时，则三边长分别为：7、7、3， ∴该等腰三角形的周长为， 故选C． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 故选：C． 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 如图：连接，利用线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作图可知：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）已知两条线段的长分别为、，当第三条线段长为 时，这三条线段可以构成一个直角三角形． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理．已知三角形的二边求第三边时，分两种情况，利用勾股定理求解解答． 【详解】解：当和长线段为直角边时，第三条线段的长为； 当长线段为直角三角形的斜边时，第三条线段的长为； 故答案为：3或． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ； ②当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 6或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）先求出，，根据勾股定理求出结论； （2）根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，，点M，N在边上，，，点P是边上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．    【答案】或或 【分析】考虑四种特殊位置，分别画出图形，求出对应x的值结合图形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，当是等边三角形时满足条件，作于H．    在中，， ∵， ∴， ∴． 如图2中，当圆与只有一个交点时，时，，此时满足条件；    如图3中，如图当圆经过点O时，，此时满足条件的点P有2个．    如图4中，当圆与只有一个交点时，，    观察图3和图4可知：当时，满足条件， 综上所述，满足条件的x的值为：或或， 故答案为：或或． 10．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式，对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式，即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式，如：分解因式 （1） （2） 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出或，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由， ． 由题意可得 或． 或 是等腰三角形或直角三角形． 11．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 12．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①对，理由见解析；②或 【分析】先求出，，，当时，，在中可求出，由翻折的性质得，，则点A，D，E在同一条直线上，由此可得的长； 设，，由翻折的性质得，，则，，进而得，当时，则，进而得，则，由此可对小邕的说法进行判断； ②设，由①得，，，进而得，，则为，再求出，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：ⅰ时，则，即，由此解出，进而可得的度数；ⅱ当时，则，即，由此解得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 由勾股定理得：， 当时， ， 是直角三角形， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 由翻折的性质得：，， ， 点A，D，E在同一条直线上， ； （2）①小邕的说法对，证明如下： 设，， 由翻折的性质得：，， ， 在中，， ， 在中，由翻折得， 当时，则， 在中，， ， 又， ， 是等边三角形； ②设， 由①可知：，，， 在中，， 是的外角，， ， ， 是的外角， ， ， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： ⅰ当时，则， ， 解得：， ； ⅱ当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数是或 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）过点P作交于点F，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，得出，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （3）分两种情况讨论：当点E在射线上时，当点E在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在射线上时，作，交于点，作，交于点E，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴此时； 当点E在射线上时，过点P，作于点G，作于点H，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 综上分析可知：或． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$