专题03 勾股定理及其运用（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 勾股定理及其运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理的计算（常考点） 1 题型二、通过勾股定理列方程解决问题（如折叠问题）（重点） 5 题型三、用勾股定理判定三角形是直角三角形 9 题型四、古代对勾股定理的探究（重点） 14 题型五、勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展（常考点） 20 题型六、勾股定理的实际应用 30 题型七、等腰三角形和直角三角形的存在性问题（难点） 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理的计算 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，同高的两个三角形的面积关系，先求解，，再结合即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：D 2.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理与垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据勾股定理在中求出，再由垂直平分线的性质得到，进而即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：B 3.（24-25八年级下·新疆·期中）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 【答案】5或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．由题意，需分类讨论，再根据勾股定理解决此题． 【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况： ①边长为4的边为斜边，此时，则，得； ②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则，得． 综上，或5． 故答案为：5或． 4.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，，证明，得到，因此．过点C作于点H，则，根据勾股定理求出，进而根据的面积求出，即可解答． 【详解】解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 5.（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 6.（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵，点E是的中点， ∴，． ∴． ∵点F是的中点， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴． ∵，点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 题型二、通过勾股定理列方程解决问题（如折叠问题） 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 【详解】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；由折叠得，则、、三点共线，设，则，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由长方形得， 由折叠得：，， ， ， 、、三点共线， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 3.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解： ，腰上的高， ∴， 是等腰三角形的底边， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 4.（25-26八年级上·全国·周测）如下图，点M，N把线段分割成，，．若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段的“勾股分割点”． (1)若，，，则M，N是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． (2)已知M，N是线段的“勾股分割点”，且为直角边．若，，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情形：当为最长线段时，；当为最长线段时，；分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是线段的“勾股分割点”．理由如下： 因为， 所以，所以以为边的三角形是一个直角三角形． 故是线段的“勾股分割点”． （2）解：设，则． ①当为最长线段时，依题意，得，即，解得； ②当为最长线段时，依题意，得，即，解得． 综上所述，的长为或． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 题型三、用勾股定理判定三角形是直角三角形 1.（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）中，，，的对边分别为，，．能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需根据直角三角形的判定条件，分别对每个选项进行分析判断即可得解。本题主要考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握这些定理并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ， ， 解得， ∴，故A项错误． 设，，． ，不满足勾股定理逆定理，故B项错误． 设，，． ， ， 解得， ∴，故C项错误． ，满足勾股定理逆定理， ∴，故D项正确． 故选：D． 2.（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 3.已知，、、是的三边长，若，则是 . 【答案】等腰直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a-b=0，a2+b2-c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 4.（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵+=+=25==． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 6.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 题型四、古代对勾股定理的探究 1.（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 2.（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 3.（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 4.（25-26八年级上·全国·周测）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 5.阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 6.（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 【答案】(1)边上的高为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积公式，解题的关键是熟练运用这些知识． （1）先用割补法求出的面积，再用底高表示面积，根据“双求法”列式，即可求出边上的高； （2）过点作于点，如图3，由是边的中线，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作边上的高， ， ， ， ， 解得， （2）过点C作于点F，如图3， ∵是边的中线， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得： ， ， ， ， ， 即， ． 题型五、勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展 1.（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 2.（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形面积得到、的平方，用勾股定理算出．在中，利用含角的直角三角形“角所对直角边是斜边的一半”，结合勾股定理求出另一直角边，最后用面积公式求解．本题主要考查勾股定理、含角的直角三角形性质及三角形面积公式，关键是利用勾股定理和特殊角性质，找到直角边之间的关系来计算面积． 【详解】解：∵正方形面积为， 正方形面积为， ∴ ， ． ∴在中，， ∴（边长为正，舍去负根）． ∵在中，，， ∴ ． ∵，即， ∴（边长为正，舍去负根）． ∴ ． 故选： ． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 4.（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 5.（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 6.（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 7.（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）分为直角边和斜边两种情况，由勾股定理求的值； （2）先求出及的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，根据，求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：①当，为直角边时： ， ； ②当为斜边时： ， ， 综上所述，或， 故答案为：或； （2）是直角三角形 理由： 是直角三角形 （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 是以为斜边的直角三角形， ， ，， ． 8.（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 9.（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)风车的面积为393 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 题型六、勾股定理的实际应用 1.（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 2.（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解应用题，由题意可知，，，，在中，由勾股定理得到，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，，， 在中，，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：C． 3.木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 4.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键； 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 5.（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 6.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 【答案】2.7 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，关键在于理解梯子长度在不同情况下保持不变，通过两次应用勾股定理分别计算梯子的长度和梯子底端到右墙角的距离，最终将梯子底端到左墙角和右墙角的距离相加，得出小巷的宽度．先利用勾股定理求出梯子的长度，再通过勾股定理求出梯子底端到右墙角的距离，最后将梯子底端到左墙角的距离与到右墙角的距离相加，得到小巷的宽度． 【详解】解：设梯子底端与右墙之间的距离为 ． 由勾股定理可知，， ， （负值舍去）， 小巷的宽度为． 7.（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 8.（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h． (2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2) 【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为，则绳子的长度为． 在中，由勾股定理，得， 解得． 故旗杆的高度为m． （2）由题意可知，． 在中，由勾股定理，得， 解得， 所以， 所以． 9.（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 题型七、等腰三角形和直角三角形的存在性问题 1.（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在中，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，当是直角三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．分两种情况，当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当，如图所示： 为的中点， ， ∵， ∴， ，， ≌， ， ∴； 当，如图所示， 为的中点， ， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴； ∴， 综上所述，的长为或． 故选：D． 2.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长不可能是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．分，，三种情况，画出图形，分别求出的长，即可求解． 【详解】解：如图1，当时， 在中，， ， ， ， 为等边三角形， ． ； 如图2，当时， ， ， ． 在中，； 如图3，当时， 在中，， ， ， 为等边三角形， ． 综上可知，的长可能是或或1，不可能是2． 故选C． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长 ． （2）当为直角三角形时，t的值 ． 【答案】 2或 【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． （1）在中，利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）在中，，由勾股定理得， 故答案为：； （2）由题意知：． ①当时，如图1， ， 点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2， ，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或， 故答案为：2或． 4.（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 5．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2) (3)点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据题意，，，点P在线段上，则，结合是等腰三角形，得，此时；解答即可． （3）根据等腰三角形性质和判定，分三种情况，解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 当秒时，，， 此时，， 又， 故． （2）解：根据题意，，， 点P在线段上，则， 由是等腰三角形， 得， 此时； 解得． （3）解：∵， ∴， ∵动点Q的速度为，设运动时间为， ∴点Q运动路程， ∵点Q在上， ∴所以运动时间大于，， ∵是等腰三角形， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时， 则， 过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， 此时，； 当时，此时， 此时，， 综上所述，点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形． 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为5或8 (4)15． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，从而可得的度数； （2）依题意得， ， ，再根据得当时，是等边三角形，则，由此解出t即可得出答案； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，则，，进而得是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）依题意得：， ， ∴， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时，t的值为； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，t的值为5或8； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，如图3所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴， ∴的最小值为15， ∵， ∴的最小值为15． 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由已知等式展开并整理，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 本题考查了平方差公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故一定是直角三角形， 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和矩形性质的应用，通过构造直角三角形并利用勾股定理求解斜边长度，进而计算大树折断前的高度，解题的关键在于准确识别和应用几何图形的性质，特别是利用矩形对边相等及勾股定理进行线段长度的计算．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的长度得到大树折断前的高度。 【详解】解：过点B作于点E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 大树折断前的高度为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，分和，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， 若，则， 若，则； 综上，的长是17或． 故选：C． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（    ） A．9 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 利用线段垂直平分线的性质证明，根据等腰三角形的性质即可证明，根据含角的直角三角形的性质推出，再利用勾股定理求出的长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故选：D． 6．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，即可得出，同理可得，从而得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故选：D． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据，，得，根据平分，得，进而得，再根据，得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出，证明，得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，继而得，由此可对结论③进行判断；④过点G作于点H，根据角平分线性质得，由三角形面积公式得，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理求出，继而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论②正确； ③在中，，，， 由勾股定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，故结论③错误； ④过点G作于点H，如图所示： ∵点G是平分线上的点，， ∴， ∴，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． ∴学生沿着走比原来少走． 故答案为：40． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 【答案】17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·周测）在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为 ． 【答案】162 【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系． 根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得， 则， 则． 故答案为：162． 12．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】（1）由旋转得，，因为，，所以，，可根据“”证明，得，于是得到问题的答案； （2）作于点F，于点E，由，求得，由，求得，，因为，所以，由角平分线的性质得，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为： （2）作于点F，于点E， ∵， ∴， ，， ， ∵， ∴， ，， ， ， ∴， 平分，于点F，于点E， ， ∴， ， 故答案为： 13．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，将两块含角的三角板拼成等边三角形，斜边，点D是的中点，E是边上的一个动点，过点E作，交边于点F，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或4 【分析】设，根据腰不同分类讨论：当时，过E作于G，根据角直角三角形是三边数量关系，求出，，在中根据勾股定理列出方程求解；当时，过F作于H，同理，用x表示出，，，在中利用勾股定理列出方程求解；当时，作于M，于N，利用全等三角形得出，再根据角直角三角形的三边数量关系，用x表示出，以及求出，从而可以求得的长． 【详解】解：①当时，过E作于G，如图： 设，则，， ，， ，，， 是中点， ， ， 在中，， 即， 解得：负值已舍； ②当时，过F作于H，如图： 设，则，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得：或舍； ③当时，作于M，于N，如图： 为等边三角形，D是中点， 平分， ，， ， ， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或4． 故答案为：或或4． 14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 根据勾股定理求得， ， ，， ， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 【答案】(1) (2)是直角 【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理判断出，为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ，，， ． ． ，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ； （2）解：，，， ∴， ∴， ∴是直角． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题背景】如果一个三角形一边的中线长等于这边的长度，那么把这个三角形称为“等边中线三角形”，这条中线称为“等边中线”． 【概念理解】（1）如图，在与中，为的中点，，，，，则________“等边中线三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式运用】（2）如图，在中，，是的“等边中线”．求的面积． 【拓展创新】（3）如图，在中，，，，为的中点．判断是否是的“等边中线”，并说明理由． 【答案】（1）是； （2）； （3）不是的“等边中线”，理由见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理、“等边中线”、等腰三角形的性质，解决本题的关键是读懂材料中“等边中线”和“等边中线三角形”的定义，根据定义解答即可． （1）根据勾股定理可得：，根据定义可知是“等边中线三角形”； （2）根据“等边中线三角形”的定义，可知，设，则有，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，根据勾股定理可得：，从而可得：，根据三角形的面积公式可得； （3）过点作，垂足为，设，则，根据勾股定理可得：，解方程即可求出，，利用勾股定理求出，因为，所以可知，所以不是的“等边中线”． 【详解】解：（1） ，，， ， ， 是“等边中线三角形”， 故答案为：是； （2）是的“等边中线”， 设，则， ，为的中点， ， ， 即， 解得：， ； （3）不是的“等边中线”， 理由如下： 如下图所示，过点作，垂足为， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 不是的“等边中线”． 19．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（跨学科融合、运算能力）综合与实践． 【实践主题】探究车辆通过直角弯道的条件． 【查阅资料】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角为的位置（如图1中②的位置），（取） 【案例展示】例如，图2是某巷子的平面图，巷子路面宽4米，转弯处为直角，车辆的车身为长方形，与，的夹角都是，连接，交于点，若的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过． 【解决问题】（1）长8米，宽3米的消防车____________通过该直角弯道；（填“能”或者“不能”） 【深入探究】（2）在（1）的条件下求出的长度． 【路径优化】（3）为了能使长10米，宽3米的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（以点为圆心，分别以和为半径的弧），具体方案如图3，其中，请帮助设计者算一算，直接写出的最小值为____________． 【答案】（1）不能；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．灵活利用等腰直角三角形及勾股定理是解题的关键． （1）如图2：作于点M，则，易得和为等腰直角三角形，求得和的长，相减即为的长度，与车宽3比较即可判断能否通过该直角弯道； （2）如图：作于点M，则，易得和为等腰直角三角形，求得和的长，相减即为的长度； （3）如图3：点C、D与点M、重合，根据（2）中的方法求得的长度，与车宽比较后发觉不能通过直角弯道，那么点C、D在上，画出相关图形，利用勾股定理求得也就是的最小长度即可． 【详解】解：（1）如图2：作于点M，则，， 由题意得：， ∴， 由题意得：点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴消防车不能通过该直角弯道． 故答案为：不能． （2）如图2：作于点M，则，， 由题意得：， ∴， 由题意得：点G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）如图3：点C、D与点M、重合， ∵， ∴， 由题意得：点G是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴消防车不能通过， 如图4：点C、D在，连接， 设长，则， ∴，解得：． ∴． 故答案为：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理及其运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理的计算（常考点） 1 题型二、通过勾股定理列方程解决问题（如折叠问题）（重点） 2 题型三、用勾股定理判定三角形是直角三角形 4 题型四、古代对勾股定理的探究（重点） 6 题型五、勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展（常考点） 8 题型六、勾股定理的实际应用 11 题型七、等腰三角形和直角三角形的存在性问题（难点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理的计算 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 2.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3.（24-25八年级下·新疆·期中）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 4.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 5.（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 6.（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型二、通过勾股定理列方程解决问题（如折叠问题） 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 3.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 4.（25-26八年级上·全国·周测）如下图，点M，N把线段分割成，，．若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段的“勾股分割点”． (1)若，，，则M，N是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． (2)已知M，N是线段的“勾股分割点”，且为直角边．若，，求的长． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 题型三、用勾股定理判定三角形是直角三角形 1.（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）中，，，的对边分别为，，．能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.已知，、、是的三边长，若，则是 . 4.（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 6.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 题型四、古代对勾股定理的探究 1.（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 3.（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 4.（25-26八年级上·全国·周测）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 5.阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 6.（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 题型五、勾股定理的证明、探究和图形面积关系的扩展 1.（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 2.（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 5.（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 6.（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 7.（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 8.（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 9.（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型六、勾股定理的实际应用 1.（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 2.（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 3.木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 4.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 5.（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 6.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 7.（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 8.（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h． (2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离． 9.（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 题型七、等腰三角形和直角三角形的存在性问题 1.（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在中，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，当是直角三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 2.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长不可能是（   ） A．1 B． C．2 D． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长 ． （2）当为直角三角形时，t的值 ． 4.（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 5．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，，，则的长是（　　） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（    ） A．9 B．14 C． D． 6．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 11．（25-26八年级上·全国·周测）在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为 ． 12．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，将两块含角的三角板拼成等边三角形，斜边，点D是的中点，E是边上的一个动点，过点E作，交边于点F，连接，，当是等腰三角形时，的长为 ． 14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题背景】如果一个三角形一边的中线长等于这边的长度，那么把这个三角形称为“等边中线三角形”，这条中线称为“等边中线”． 【概念理解】（1）如图，在与中，为的中点，，，，，则________“等边中线三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式运用】（2）如图，在中，，是的“等边中线”．求的面积． 【拓展创新】（3）如图，在中，，，，为的中点．判断是否是的“等边中线”，并说明理由． 19．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（跨学科融合、运算能力）综合与实践． 【实践主题】探究车辆通过直角弯道的条件． 【查阅资料】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角为的位置（如图1中②的位置），（取） 【案例展示】例如，图2是某巷子的平面图，巷子路面宽4米，转弯处为直角，车辆的车身为长方形，与，的夹角都是，连接，交于点，若的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过． 【解决问题】（1）长8米，宽3米的消防车____________通过该直角弯道；（填“能”或者“不能”） 【深入探究】（2）在（1）的条件下求出的长度． 【路径优化】（3）为了能使长10米，宽3米的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（以点为圆心，分别以和为半径的弧），具体方案如图3，其中，请帮助设计者算一算，直接写出的最小值为____________． 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$