专题02 直角三角形的性质与判定（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题02 直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直角三角形两锐角互余 1 题型二、直角三角形斜边中线定理（常考点） 4 题型三、含30°的直角三角形（常考点） 8 题型四、含45°的直角三角形（常考点） 13 题型五、直角三角形的判定 19 题型六、直角三角形相关的综合探究（重点） 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直角三角形两锐角互余 1.（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ）    A．与互为余角 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在． 先根据角角边证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故B正确； ， 故C正确； 故A正确； 综上，A，B，C，均正确， D．，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 2.在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质计算可求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 3.如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项A，C，D正确，符合题意，无法得到，故选项B错误； 故选：B． 4.如图，，若，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 5.（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， 解：在中，，， 则， ， ， 故答案为：． 6.在中，已知是角平分线，，． (1)求，的度数； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求得，进而根据三角形的外角的性质，求得； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵ ． 题型二、直角三角形斜边中线定理 1.如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，是的中点， ， 故选：D． 2.（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 3.（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质．根据题意得到，即可得到，再根据三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：在中，，点D是斜边的中点， ， ， ， 故答案为：． 4.（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 5.（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据垂线的定义得到，再由直角三角形两锐角互余得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则由等边对等角得到 ，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：， ． ， ． ，是边上的中线， ， ， ． 6.（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)1． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）由题意可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）由（1）可得：，根据等边对等角和三角形外角的性质得，，进而可得； （3）设，由（2）可得，由，解出x的值，得，过点E作于点F，由即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴为直角三角形， ∵M为中点， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设，由（2）可得： ， ∵， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点F， ∴， ∴． 题型三、含30°的直角三角形 1.（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（   ） A．10 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的特征，求出的长，再判定出是等边三角形，从而得到的长，进而得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，过点作于，由等边三角形的性质并结合题意可得，，平分，平分，求出可得，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵， ∴，即点O到的距离为， 故答案为：． 4.（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．过点作延长线于点，利用外角性质得出，再利用含直角三角形的性质，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 6.（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 【答案】(1)见解析 (2)6，7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）证明，即可推出结论； （2）根据三角形外角的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质推出的长即可推出结果． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6，7． 题型四、含45°的直角三角形 1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线，， ， ∴， ，即． 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ，即． 故选：B． 2.（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而可得，则可进行排除选项． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确；， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴；故③正确； 故选D． 3.（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．则下列结论①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】由，，可证，于是，可证，所以，，进一步求证，于是，，．可知①，②正确；先求出，然后用反证法可判断③；根据，即可得出④正确． 【详解】解：中，， ∴ ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∵，，， ∴ 又，， ∴． ∴，． ∴．故①，②正确； ∵中，，H是边的中点， ∴． 若，则， ∴，这与矛盾，故③不正确； ∵，， ∴故选项④正确； 故答案为：①②④． 4.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形中，，，连接、.是的中点，连接、.若的面积为32，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边行中线的性质可求，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求得，利用直角三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：，是的中点， ， ， ，， ，，， ， , ∴， ∴． 故答案为：16． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案； （2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 6.（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质可得，由三线合一可得，进而可知是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，最后根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ，， ，是的垂直平分线， ， ． 题型五、直角三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，互余关系，结合等量代换，得到，进而求出，进而推出，即可得出结果． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 2.（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出含角的直角三角形是解题的关键． 连接，根据三角形的内角和定理求出、，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 的垂直平分线交于点E， ，， ， ， ， ， ． 题型六、直角三角形相关的综合探究 1.（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 【详解】解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 2.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知：平分故①正确， ， ， 点在的垂直平分线上，故②正确， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 3.（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的垂线； (2)在图②中，在上找一点，连结，使； (3)在图③中，在上找一点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，格点作图题，利用斜边的中线等于斜边的一半，，解题关键是斜边的中线等于斜边的一半． （1）取格点E，连结即可； （2）取格点E，连接交于点M，连接，点M即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）； （3）取格点F，H，连接交于点N，连接，点N即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）． 【详解】（1）解：如图所示： 直线即为所求； （2）如图所示： ，为中点， ∴， 点M即为所求； （3）如图所示： ，为中点， ∴， ∴点N即为所求． 4.推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析；模型构造： 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 5.【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立， 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． （1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用．作出示意图，先根据两底角相等、内角和为180度计算出，再根据直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，等腰中，， ， ， ， ， ， 即一腰上的高与底边的夹角是， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查量角器的使用，直角三角形两锐角互余，先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴． 故选B． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 本题根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 7．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，根据题意可得，，则垂直平分，进而可得 ，即可求解． 【详解】解：根据作图可得，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半以及等边三角形的性质，是解题的关键． 根据题意，，分类讨论，当时，，；当时，，．两种情况即可求解． 【详解】解：根据题意，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ， 是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上所述，的值为1或2． 故答案为：1或2． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图所示，在中： (1)画出边上的高和中线． (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查尺规作图—钝角三角形的高，中线的作法，三角形内角和定理，直角三角形的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据钝角三角形画高，画中线的方法即可求解； （2）在中，根据三角形内角和定理可求出的度数，在中，根据直角三角形的性质可求出的度数，根据可求出的度数，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，作的垂直平分线得到中点，连接，        ∴即为边上高，即为边的中线． （2）解：在中，，， ∴， 由（1）的作图可知，是直角三角形，，即， 在中，，， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，是的高线，点E在边上，连接交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若是的角平分线，过点F作于点G，，，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了角的平分线性质定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和定理计算即可； （2）根据角的平分线的性质定理，三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵是的高线，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， 又∵是的角平分线，， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)）见解析；）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键 （）连接，证明和全等即可得到； （））延长到，使得，连接，证明和全等，然后证明和全等，即可得到结论； ）根据平分，可以证出，，从而得到和的关系，即和的关系，根据的面积求出，从而求得的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ）解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)_______度，_______； (2)当四边形为轴对称图形时，的长是_______； (3)若是等腰三角形，求的度数； (4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 【答案】(1)45；12 (2)6 (3)的度数为或或 (4)的长度为3 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角的直角三角形边长关系）、角平分线的定义、轴对称图形的性质、等腰三角形的分类讨论及最短路径问题，解题的关键是结合图形性质，利用边角关系和分类思想分析不同情况下的几何量． （1）根据角平分线定义求；利用和的长度，结合直角三角形边角关系求； （2）分析四边形为轴对称图形的对称轴，结合对称性质确定的长度； （3）分、、三种等腰情况，分别计算的度数； （4）通过作对称点将转化为线段距离，利用最短路径原理确定P的位置，进而求． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴． ∵在 中，，， ∴，角所对直角边是斜边的一半）． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当四边形为轴对称图形时，对称轴为（仅可能情况），则（对称边相等）． ∵， ∴． 故答案为：6． （3）解：由（1）知． 分三种情况： ①若，则． ∵， ∴； ②若，则； ③若，则， ∴． 答：的度数为或或． （4）解：作点E关于的对称点，连接交于M， 则最小（两点之间线段最短）． 当时，P为所求点（如下图）． 连接， ∵E是中点，是直角三角形，， ∴． ∵点关于对称， ∴，且 由（1）知，又， ∴，即，对称角， ∴，结合得， ∴（推得） ∵，则， 在中，． 即的值最小时的长度为3． 19 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直角三角形两锐角互余 1 题型二、直角三角形斜边中线定理（常考点） 2 题型三、含30°的直角三角形（常考点） 4 题型四、含45°的直角三角形（常考点） 5 题型五、直角三角形的判定 7 题型六、直角三角形相关的综合探究（重点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直角三角形两锐角互余 1.（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ）    A．与互为余角 B． C． D． 2.在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，，若，且，则的度数为 ． 5.（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 6.在中，已知是角平分线，，． (1)求，的度数； (2)若于点，求的度数． 题型二、直角三角形斜边中线定理 1.如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2.（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 3.（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是 ． 4.（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：． 5.（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 6.（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求． 题型三、含30°的直角三角形 1.（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（   ） A．10 B． C．15 D． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 4.（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，，则的面积为 ． 5.如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 6.（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 题型四、含45°的直角三角形 1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 2.（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．则下列结论①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    4.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形中，，，连接、.是的中点，连接、.若的面积为32，则的长为 ． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 6.（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五、直角三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 2.（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 题型六、直角三角形相关的综合探究 1.（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 2.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的垂线； (2)在图②中，在上找一点，连结，使； (3)在图③中，在上找一点，连结，使． 4.推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 5.【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 7．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 11．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图所示，在中： (1)画出边上的高和中线． (2)若，，求和的度数． 12．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，是的高线，点E在边上，连接交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若是的角平分线，过点F作于点G，，，求的面积． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 14．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)_______度，_______； (2)当四边形为轴对称图形时，的长是_______； (3)若是等腰三角形，求的度数； (4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$